Podpierścień i podciało

[Sarika]

Witam, potrzebuje pomocy z dobraniem odpowiedniego twierdzenia/definicji do mojego problemu. Treść zadania jest następująca :

Niech \(\displaystyle{ Q}\) - ciało liczb wymiernych, zaś \(\displaystyle{ Z}\)- pierścień liczb całkowitych. Sprawdzić czy następujące podzbiory ciała liczb rzeczywistych ( wymiernych) tworza podpierścień ( podciało) :

\(\displaystyle{ S=\left\{
\frac{a}{ 5^{k} } ; a \subseteq Z , k \ge 0
\right\}}\)

Potrafię udowodnić, że jest to podpierścień. Z udowodnieniem czy jest to podciało, czy nie, też bym sobie poradziła, ale mam lenia Zastanawiam się więc czy nie ma żadnego skrótu. Zdaje się że każdy podpierścień w \(\displaystyle{ R}\) jest izomorficzny z ciałem w \(\displaystyle{ Q}\), czy coś takiego ale nie wiem czy dobrze myślę i czy w czymś to pomaga.

Zatem, czy wiedząc że jest to podpierścień w \(\displaystyle{ R}\) można wywnioskować że jest to ciało w \(\displaystyle{ Q}\) ?

[Vardamir]

Takie zadania raczej służą do badania ich z definicji. Natomiast

Zdaje się że każdy podpierścień w \(\displaystyle{ R}\) jest izomorficzny z ciałem w \(\displaystyle{ Q}\), czy coś takiego ale nie wiem czy dobrze myślę i czy w czymś to pomaga.

Zatem, czy wiedząc że jest to podpierścień w \(\displaystyle{ R}\) można wywnioskować że jest to ciało w \(\displaystyle{ Q}\) ?

Nie do końca, przykładowo \(\displaystyle{ Z_{8}}\) jest podpierścieniem \(\displaystyle{ \RR}\), ale nie jest ciałem.

[marcinz]

\(\displaystyle{ Z_8}\) nie jest podpierścieniem \(\displaystyle{ \RR}\) (działanie w \(\displaystyle{ Z_8}\) nie pochodzi od tego w zbiorze liczb rzeczywistych). Przykładem podpierścienia w \(\displaystyle{ \RR}\), który nie jest ciałem są liczby całkowite.

[Zordon]

Podpierścień dziedziny jest w szczególności dziedziną.

[Vardamir]

Mój błąd, za dużo nauki przed kolokwium