Element neutralny i odwrotny

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Grubcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 1 cze 2011, o 20:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 4 razy

Element neutralny i odwrotny

Post autor: Grubcia »

Witam
Mam sprawdzić czy \(\displaystyle{ \left\langle G,\circ \right\rangle}\) jest grupą. \(\displaystyle{ G=P(V)}\) oraz \(\displaystyle{ A\circ B=A\div B}\), gdzie \(\displaystyle{ P(V)}\) to rodzina wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ V}\)). A więc sprawdzam 3 warunki, łączność, element neutralny i element odwrotny. No i tutaj pojawia się problem, nie wiem jak obliczyć element neutralny i odwrotny. Wychodzi mi że \(\displaystyle{ A\circ E=A}\), czyli \(\displaystyle{ \left( A\setminus E \right) \cup \left( E\setminus A \right) =A}\), gdzie zakładam że \(\displaystyle{ E}\) to element neutralny. Czy ja dobrze myślę? Co ja mam z tym zrobić? Czy \(\displaystyle{ E}\) to \(\displaystyle{ 0}\)?
Ostatnio zmieniony 5 sty 2013, o 17:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości: \langle, \rangle. Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Element neutralny i odwrotny

Post autor: mol_ksiazkowy »

Czy ja dobrze myślę? Co ja mam z tym zrobić? Czy E to 0?
E (alement neutralny ) to zbiór pusty: \(\displaystyle{ \emptyset}\); no i \(\displaystyle{ A=A^{-1}}\) (element odwrotny) ;
Grubcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 1 cze 2011, o 20:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 4 razy

Element neutralny i odwrotny

Post autor: Grubcia »

a jak to pokazać?
Awatar użytkownika
Vardamir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1913
Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 410 razy

Element neutralny i odwrotny

Post autor: Vardamir »

Najłatwiej najpierw zastanowić się z jakimi elementami mamy do czynienia, w tym przypadku są to zbiory. Do drugie zastanowić się jak działa różnica symetryczna zbirów i z tego wywnioskować powyższe odpowiedzi.

Łatwo stwierdzić, że tylko zbiór pusty może być elementem neutralnym bo jest jedynym, który dla wszystkich elementów w grupie spełni \(\displaystyle{ A \Delta E = E\Delta A = A}\)
Grubcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 1 cze 2011, o 20:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 4 razy

Element neutralny i odwrotny

Post autor: Grubcia »

Ok rozumiem, a jak z elementem odwrotnym?
Awatar użytkownika
Vardamir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1913
Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 410 razy

Element neutralny i odwrotny

Post autor: Vardamir »

Również zauważyć, że działanie różnicą symetryczną zbioru samego na siebie da nam zbiór pusty, czyli element neutralny.
Grubcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 1 cze 2011, o 20:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 4 razy

Element neutralny i odwrotny

Post autor: Grubcia »

a jeżeli mam przykład z \(\displaystyle{ A\circ B = A\cup B}\). To elementem neutralnym jest zbiór pusty czy A? Podobne pytanie do elementu odwrotnego.
Awatar użytkownika
Vardamir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1913
Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 410 razy

Element neutralny i odwrotny

Post autor: Vardamir »

Zauważ, że każdy podzbiór \(\displaystyle{ A}\) będzie spełniał warunki elementu neutralnego. Jednak element neutralny w grupie jest jedyny, zatem wynika z tego że...?
Grubcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 1 cze 2011, o 20:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 4 razy

Element neutralny i odwrotny

Post autor: Grubcia »

Wynika że elementem neutralnym jest zbiór pusty i elementem odwrotnym również, zgadza się?
Awatar użytkownika
Vardamir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1913
Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 410 razy

Element neutralny i odwrotny

Post autor: Vardamir »

Vardamir pisze:Zauważ, że każdy podzbiór \(\displaystyle{ A}\) będzie spełniał warunki elementu neutralnego. Jednak element neutralny w grupie jest jedyny, zatem wynika z tego że...?
Przeczytaj mój post jeszcze raz ze zrozumieniem. Wyróżniłem najważniejszą część.
Grubcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 1 cze 2011, o 20:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 4 razy

Element neutralny i odwrotny

Post autor: Grubcia »

Najbardziej pasuje cały zbiór A?-- 14 sty 2013, o 17:30 --Albo inaczej, nie istnieje element neutralny.
Awatar użytkownika
Vardamir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1913
Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 410 razy

Element neutralny i odwrotny

Post autor: Vardamir »

Grubcia pisze:Najbardziej pasuje cały zbiór A?

-- 14 sty 2013, o 17:30 --

Albo inaczej, nie istnieje element neutralny.
Tak. W grupie jest on jedyny, a tutaj potrafimy wskazać ich więcej.
marcinz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 370
Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 53 razy

Element neutralny i odwrotny

Post autor: marcinz »

Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem pustym, to jest jeden kandydat na element neutralny. Należy skorzystać z tego, że zazwyczaj zbiory nie mają elementu odwrotnego.
Grubcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 1 cze 2011, o 20:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Opole
Podziękował: 4 razy

Element neutralny i odwrotny

Post autor: Grubcia »

Dzięki. Mam jeszcze przykład gdzie \(\displaystyle{ G=\lbrace z \in \mathbb{C}: |z|=1 \rbrace}\), oraz \(\displaystyle{ x\circ y= xy}\). Jak tutaj wykazać łączność?
Awatar użytkownika
Vardamir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1913
Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 410 razy

Element neutralny i odwrotny

Post autor: Vardamir »

Sprawdzić z definicji. Czyli czy
\(\displaystyle{ x\circ \left( y \circ z\right) = \left( x \circ y\right) \circ z}\)

Gdzie pojawia się problem?
ODPOWIEDZ