Podgrupy grupy izometrii kwadratu

[Kanodelo]

Jak wyznaczyć podgrupy grupy izometrii własnych kwadratu \(\displaystyle{ G=\{id, S_1, S_2, S_3, S_4, O_1, O_2,O_3\}}\)
Jest na to jakiś szybki sposób czy trzeba sprawdzać wszystko z definicji?

[JakimPL]

Zacznij od podgrup cyklicznych, potem generowanych przez dwa elementy itd.

[Kanodelo]

To znaczy powinienem składać ze sobą symetrie i obroty, aż wyjdzie mi identyczność? Bo próbowałem wymyślić coś podobnego do tego: www.matematyka.pl/313673.htm ale przecież tu nie ma żadnych dzielników więc się nie da w ten sam sposób...

[JakimPL]

\(\displaystyle{ D4}\) ma \(\displaystyle{ 10}\) różnych podgrup. Zaczynamy:

\(\displaystyle{ \langle {\rm id} \rangle = \{{\rm id}\}\\
\langle O_1 \rangle = \langle O_3 \rangle = \{{\rm id},O_1,O_2,O_3\}\\
\langle O_2 \rangle =\{{\rm id},O_2\}\\
\langle S_1 \rangle =\{{\rm id},S_1\}\\
\langle S_2 \rangle =\{{\rm id},S_2\}\\
\langle S_3 \rangle =\{{\rm id},S_3\}\\
\langle S_4 \rangle =\{{\rm id},S_4\}\\
\langle S_1, S_3 \rangle =\{{\rm id},S_1,S_3,O_2\}\\
\langle S_2, S_4 \rangle =\{{\rm id},S_2,S_4,O_2\}\\
\langle S_1, O_1 \rangle =\{{\rm id},S_1,S_2,S_3,S_4,O_1,O_2,O_3\}}\)

Dalej nie ma sensu badać. Z twierdzenia Lagrange'a wiemy, że dalsze podgrupy będą całą grupą lub jedną z dwóch przedostatnich.

[Vardamir]

To znaczy powinienem składać ze sobą symetrie i obroty, aż wyjdzie mi identyczność? Bo próbowałem wymyślić coś podobnego do tego: 313673.htm ale przecież tu nie ma żadnych dzielników więc się nie da w ten sam sposób...

Oczywiście, że możemy to zastosować. Grupa \(\displaystyle{ D_{n}}\) ma rząd \(\displaystyle{ 2n}\) czyli w przypadku \(\displaystyle{ D_{4}}\) jej rząd jest równy \(\displaystyle{ 8}\). Dzielnikami \(\displaystyle{ 8}\) są \(\displaystyle{ 1,2,4,8}\), więc nasze podgrupy muszą być właśnie tych rzędów.

Podgrupy rzędu 1 i 8 są trywialne.

Podgrupy rzędu 2 są cykliczne, zatem będą to grupy generowane przez elementy rzędu 2 z grupy \(\displaystyle{ D_{4}}\). Takich elementów mamy 5, wszystkie symetrie i obrót o \(\displaystyle{ \pi}\).

Podgrupy rzędu 4 to są dość dobrze wytłumaczone w linku poniżej.

Na forum kwestia już była poruszana, tu jest jakieś tłumaczenie. Może trafi do Ciebie.
https://www.matematyka.pl/125100.htm

[nowyyyy4]

A co z
\(\displaystyle{ \langle S_1, S_4 \rangle \\
\langle S_2, S_3 \rangle \\
\langle S_3, S_4 \rangle}\)
przecież są to inne podgrupy?

[Kanodelo]

Będą podgrupy:
\(\displaystyle{ \{\left\langle id\right\rangle,\left\langle O_1\right\rangle,\left\langle O_2\right\rangle,\left\langle O_3\right\rangle ,\left\langle S_1\right\rangle,\left\langle S_2\right\rangle,\left\langle S_3\right\rangle,\left\langle S_4\right\rangle,\left\langle S_1,S_2\right\rangle , \left\langle S_1,S_3\right\rangle , \left\langle S_1,S_4\right\rangle ,\left\langle S_2,S_4\right\rangle ,\left\langle S_2,S_3\right\rangle , \left\langle S_3,S_4\right\rangle , G\}}\)

Poza tym chyba powinno być
\(\displaystyle{ \left\langle S_1\right\rangle=\{id,S_2,O_2\}}\)
i podobnie reszta symetri

[Vardamir]

A co z
\(\displaystyle{ \langle S_1, S_4 \rangle \\
\langle S_2, S_3 \rangle \\
\langle S_3, S_4 \rangle}\)
przecież są to inne podgrupy?

Złożenie dwóch sąsiednich symetrii daję całą grupę. Którą JakimPL już przy wypisywaniu uwzględnił.

Poza tym chyba powinno być
\(\displaystyle{ \left\langle S_1\right\rangle=\{id,S_2,O_2\}}\)
i podobnie reszta symetri

Element \(\displaystyle{ S_{1}}\) czyli symetria jest rzedu 2, zatem generuję grupę dwuelementową. Mając do dyspozycji tylko jedną symetrię nie jesteś w stanie wygenerować innej. Jedyne co możesz otrzymać to ona sama, lub jej złożenie ze sobą, czyli \(\displaystyle{ S_{1}S_{1}=id}\). Poza tym to co napisałeś ma rząd \(\displaystyle{ 3}\), a \(\displaystyle{ 3}\) nie dzieli \(\displaystyle{ 8}\) (z tw. Lagrange'a rząd podgrupy dzieli rząd grupy), więc nie mogłoby być podgrupą \(\displaystyle{ D_{4}}\).

Grup które wypisałeś jest za dużo, ze względu na to co napisałem powyżej. Ponadto w grupach diedralnych \(\displaystyle{ D_{n}}\) liczba podgrup to suma liczby dzielników \(\displaystyle{ n}\) oraz ich sumy.

Dla \(\displaystyle{ n=4}\) mamy \(\displaystyle{ |\left\{1,2,4\right\}|+(1+2+4)=3+7=10}\)

[nowyyyy4]

To jak dostać z \(\displaystyle{ \langle S_2, S_3 \rangle}\) np obrót o 180 stopni?

[Vardamir]

Złożenie dwóch sąsiednich symetrii daje obrót o \(\displaystyle{ 270^{\circ }}\), zatem

\(\displaystyle{ (S_{2}S_{3})^2}\)

da nam obrót o \(\displaystyle{ 180^{\circ}}\)

[Kanodelo]

Jeszcze jedno mnie zastanawia, czym się różni generowanie grupy przez np \(\displaystyle{ \left\langle S_1\right\rangle}\) od \(\displaystyle{ \left\langle S_1,S_2\right\rangle}\), no bo w tym pierwszym przypadku sprawdzamy, czy \(\displaystyle{ S_1\circ x=x\circ S_1=id}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest elementem grupy \(\displaystyle{ G}\) i jak wyjdzie identyczność, to się wpisuje to \(\displaystyle{ x}\) do podgrupy. A jak mamy \(\displaystyle{ \left\langle S_1,S_2\right\rangle}\)? Bo czytam to w tym linku 125100.htm i tam jest, że mam po kolei sprawdzać iloczyny tych dwóch elementów, czyli tosamo co dla jednego elementu? To chyba nie możliwe

[Vardamir]

Mylisz chyba coś z warstwami, albo czymś innym. Ja inaczej miałem definiowane grupy cykliczne. Mianowicie:

W pierwszym przypadku, jeśli generatorem jest element powiedzmy \(\displaystyle{ a}\), to z definicji mamy, że grupa przez niego generowana wygląda tak:

\(\displaystyle{ \left\langle a \right\rangle =\left\{ a^k: k \in \ZZ \right\}}\)

I to jest przypadek ogólny uwzględniający grupy cykliczne nieskończone. Czyli sytuację, gdy \(\displaystyle{ rk(a)=\infty}\).

Jeśli jednak rząd naszego generatora jest skończony, czyli \(\displaystyle{ rk(a)= n < \infty}\) to otrzymujemy, że :

\(\displaystyle{ \left\langle a \right\rangle =\left\{ a^k: k \in \left\{ 0,1,...,n-1 \right\} \right\}}\)

W przykładzie, który podajesz rzad elementu wynosi \(\displaystyle{ rk(S_{1})=2}\), czyli mamy:

\(\displaystyle{ \left\langle S_{1} \right\rangle =\left\{ S_{1}^{0},S_{1}^{1} \right\}=\left\{ id,S_{1} \right\}}\)

Odnośnie generowania przez dwa elementy. Ogólnie wygląda to tak, gdy \(\displaystyle{ rk(a)=x}\), \(\displaystyle{ rk(b)=y}\) to

\(\displaystyle{ \left\langle a,b \right\rangle = \left\{ a^{i_{1}} b^{j_{1}} ... a^{i_{k}} b^{j_{k}} : \forall \left(l \in \left\{1,...,k \right\} \right)\left( i_{l} \in \left\{0,...,x-1 \right\} \wedge j_{l} \in \left\{0,...,y-1 \right\}\right) \right\}}\)

Wygląda może trochę strasznie, ale ogólna ideę chyba widać.

Mam nadzieję, że nic nie pomieszałem. Tutaj masz wyjaśnione generowanie przez dwa elementy https://www.matematyka.pl/32062.htm