Czy istnieją monomorfizmy?

[elpopo]

Witajcie. Mam problem. Muszę rozstrzygnąć, czy istnieje monomorfizm:

1) \(\displaystyle{ D _{2n} \rightarrow S _{n}}\)

2) \(\displaystyle{ Q _{8} \rightarrow S _{4}}\) ( \(\displaystyle{ Q _{8}}\) to grupa kwaternionowa)

Hm. Jeśli chodzi o zadanie 1) to byłoby proste gdyby grupa diedralna miała rząd n, wtedy z tw. Cayleya byłaby izomorficzna z jakąś podgrupą \(\displaystyle{ S _{n}}\), czyli istniałby taki monomorfizm. Ale ponieważ jest 2n to nie mogę tego zastosować i nie wiem, co teraz...
W zadaniu 2) wiem jakie elementy są w grupie kwaternionowej, ale jak sprawdzić, czy istnieje ten monomorfizm?

Bardzo proszę o pomoc, zacięłam się na tym zadaniu i nie wiem, co robić.

[Ein]

Przyda się do 2): ... c_group:S4

Jak dokładnie przeanalizujesz drugą tabelę, to dostaniesz również wskazówkę co do 1).

[elpopo]

Nie bardzo rozumiem. Nic tam nie piszą o grupie kwaternionowej, nie wiem, z czego w tych tabelkach miałabym skorzystać. Bardzo proszę o dalszą podpowiedź.

Edit: Hmm, no 1) zrobiłam, bo po prostu wyznaczyłam taki monomorfizm. Ale z 2) nadal mam problem.

[Ein]

No skoro nie piszą, to może coś jest na rzeczy?

Jak napisałaś ten monomorfizm?

[elpopo]

Zrobiłam to tak, że obrót przechodzi na przesunięcie cyklu o jedno miejsce w prawo (np. Jak \(\displaystyle{ id \rightarrow \left\{ {1,2,3,4,5}\right\}}\), to obrót \(\displaystyle{ \rightarrow}\) \(\displaystyle{ \left\{ {5,1,2,3,4}\right\}}\), a symetria to odwrócenie kolejności (np. Symetria, a potem obrót to będzie \(\displaystyle{ \left\{ 1,5,4,3,2\right\}}\)). Łatwo sprawdzić, że to jest różnowartościowe i jest homomorfizmem.

Nie no, naprawdę nie wiem. Nie są w ogóle homomorficzne? Szczerze powiedziawszy nie mam pojęcia, co mam wywnioskować z tych tabelek.