Element odwrotny w działaniu

[Kanodelo]

Chcę sprawdzić, czy istnieje element odwrotny w działaniu określonym \(\displaystyle{ (x_1,x_2)\ast (y_1,y_2)=(x_1y_1-x_2y_2,x_2y_1+x_1y_2)}\). Wiem że musi być spełnione \(\displaystyle{ \forall_{a\in G}\exists_{b\in G} a\ast b=b\ast a=e}\), wcześniej znalazłem element neutralny \(\displaystyle{ e=(1,0)}\). Teraz sprawdzam warunek:
\(\displaystyle{ b=(b_1,b_2) \\ (x_1,x_2)\ast(b_1,b_2)=(1,0) \\ (x_1b_1-x_2b_2,x_2b_1+x_1b_2)=(1,0) \\ \begin{cases} x_1b_1-x_2b_2 =1 \\ x_2b_1+x_1b_2=0 \end{cases}}\)
z tego układu wychodzi \(\displaystyle{ b_1=\frac{1}{x_1}-b_2}\) tylko teraz nie wiem, czy powinienem zostawić to w takiej postaci i napisać, że elementem odwrotnym jest \(\displaystyle{ b=\left( \frac{1}{x_1}-b_2,b_2\right),b_2\in\mathbb{R}}\) czy może nie ma elementu odwrotnego bo jest zależny od \(\displaystyle{ x_1,x_2}\)??

[Kartezjusz]

Jakim cudem. Masz tu układ liniowy dwóch równań. Stosujesz metodę podstawiania widzę, to wsadzasz do drugiego równania i wyliczasz \(\displaystyle{ b_{2}}\) , a potem \(\displaystyle{ b_{1}}\).Rozwiązanie powinno zależeć wyłącznie od \(\displaystyle{ x_{1},x_{2}}\)

[Kanodelo]

No racja, jak to pisałem to już chyba nie myślałem, wychodzi \(\displaystyle{ b_1= \frac{x_1}{x_1^2+x_2^2},b_2= \frac{-x_2}{x_1^2+x_2^2}}\)
Tylko teraz powinienem napisać że nie ma elementu odwrotnego, bo jest różny dla każdego \(\displaystyle{ x_1,x_2}\), czy też istnieje element odwrotny \(\displaystyle{ b=\left( \frac{x_1}{x_1^2+x_2^2},\frac{-x_2}{x_1^2+x_2^2}\right)}\)?