Centrum grupy macierzy

[Kanodelo]

Wyznaczyć centrum grupy macierzy postaci \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&a&b \\ 0&1&c \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\)
Żeby coś należało do centrum grupy musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ \forall_{g,h\in G} \ hg=gh}\), więc pomnożyłem macierze \(\displaystyle{ g=\begin{bmatrix}1&a&b \\ 0&1&c \\ 0&0&1\end{bmatrix},h=\begin{bmatrix}1&d&e \\ 0&1&f \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\) i wychodzi
\(\displaystyle{ g \cdot h=\begin{bmatrix}1&a+d&af+b+e \\ 0&1&f+c \\ 0&0&1\end{bmatrix} \\
h \cdot g=\begin{bmatrix}1&a+d&b+cd+e \\ 0&1&f+c \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\)
czyli musi być \(\displaystyle{ b+cd+e=af+b+e}\) ale to chyba ma nieskończenie wiele rozwiązań, więc co z tym dalej zrobić

[norwimaj]

Żeby coś należało do centrum grupy musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ \forall_{g,h\in G} \ hg=gh}\),

Nie. Ten warunek mówi, że cała grupa jest równa swojemu centrum, czyli że jest to grupa przemienna. Zawsze coś należy do centrum, bo element neutralny jest przemienny ze wszystkim.

A czy na przykład \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&1&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\) należy do centrum czy nie? Od pojedynczego elementu łatwiej zacząć.

[Kanodelo]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&1&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\) nie należy, ale z tego co widzę to należy np \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&1 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\) (pomnożyłem i wyszło 2 razy to samo)
Tylko pewnie to nie jest jedyna możliwość

[norwimaj]

No dobrze. Skoro pokazałeś, że ta pierwsza macierz nie należy do centrum, to przy okazji pewnie znalazłeś zbiór macierzy z nią nieprzemiennych. Jeśli się nie mylę, to dla \(\displaystyle{ c\ne0}\) macierz jest nieprzemienna z tą pierwszą macierzą, więc do centrum mogą należeć tylko macierze z \(\displaystyle{ c=0}\). Analogicznie można pokazać, że macierze w centrum mają \(\displaystyle{ a=0}\). Zatem trzeba już tylko sprawdzić, które z macierzy postaci

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&b \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\)

należą do centrum.

[Kanodelo]

Właśnie nie wiem do końca, czy pokazałem, bo po prostu pomnożyłem \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&1&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\) i \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&a&b \\ 0&1&c \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\) w dwóch kolejnościach i wyszły 2 różne wyniki, to samo zrobiłem z \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&1 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\), a potem \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&1 \\ 0&1&1 \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\) i w tym drugim przypadku wyszło to samo, a w trzecim nie, tylko nie wiem czy to wystarczające żeby pokazać, że ta macierz należy/nie należy do centrum

[norwimaj]

i wyszły 2 różne wyniki,

Niezależnie od tego, jakie są liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\)? Jak podstawisz \(\displaystyle{ a=b=c=0}\) to wyniki nie są różne.

[Kanodelo]

Czyli tak:
macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&a&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\) nie należy do centrum grupy, bo jest przemienna tylko dla \(\displaystyle{ a=0\vee c=0}\)
podobnie \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&0 \\ 0&1&c \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\), też wychodzi, że dla \(\displaystyle{ ac=0}\) bo po wymnożeniu wychodzą dwie macierz, które różnią się jednym wyrazem: w jednej jest \(\displaystyle{ b}\) a w drugiej \(\displaystyle{ ac+b}\)

ale sprawdzałem jeszcze macierze \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&a&b \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&a&0 \\ 0&1&c \\ 0&0&1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1&0&b \\ 0&1&c \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\)
i wyszło, że ta druga też jest przemienna z macierzą \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&a&b \\ 0&1&c \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\) więc \(\displaystyle{ c}\) chyba nie koniecznie musi być zerem.

[norwimaj]

Mnie chodziło o coś takiego:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&a&b \\ 0&1&c \\ 0&0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1&1&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&a+1&b \\ 0&1&c \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&1&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1&a&b \\ 0&1&c \\ 0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&a+1&b+c \\ 0&1&c \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\)

Zatem dla \(\displaystyle{ c\ne0}\) macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&a&b \\ 0&1&c \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\) nie należy do centrum. Analogicznie dla \(\displaystyle{ a\ne0}\) macierz ta nie należy do centrum. Zatem jaką postać muszą mieć macierze z centrum?-- 27 paź 2012, o 20:48 --

i wyszło, że ta druga też jest przemienna z macierzą \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&a&b \\ 0&1&c \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\) więc \(\displaystyle{ c}\) chyba nie koniecznie musi być zerem.

W tym kontekście \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&a&b \\ 0&1&c \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\) nie jest dowolną macierzą. pomnóż raczej przez \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&d&f \\ 0&1&g \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\).

[Kanodelo]

Ok, ja myślałem że to ma być w drugą stronę, tzn mam sprawdzić, czy macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&1&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\) należy do centrum, czyli czy jest przemienne z każdym elementem grupy, czyli z dowolną macierzą \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&a&b \\ 0&1&c \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\)
A Ty chyba chcesz sprawdzić czy macierz \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&1&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\) należy do centrum, tylko nie wiem czemu mnożysz akurat przez \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&1&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\), bo sprawdzisz tylko z tym jednym elementem a nie ze wszystkimi. No chyba że ja gadam od rzeczy
Doszedłem do tego że macierze z centrum muszą mieć na pewno postać \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&b \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\)dla \(\displaystyle{ b\in\mathbb{R}}\) tylko nie wiem czy to wszystkie możliwości, czy są jeszcze jakieś

[norwimaj]

Doszedłem do tego że macierze z centrum muszą mieć na pewno postać \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&b \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}}\)dla \(\displaystyle{ b\in\mathbb{R}}\) tylko nie wiem czy to wszystkie możliwości, czy są jeszcze jakieś

Nie rozumiem tego zdania. Skoro muszą mieć taką postać, to znaczy że innych nie ma. Raczej chcesz teraz sprawdzić, czy każda taka macierz należy do centrum. Sprawdź, czy

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&b \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1&x&y \\ 0&1&z \\ 0&0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&x&y \\ 0&1&z \\ 0&0&1\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}1&0&b \\ 0&1&0 \\ 0&0&1\end{bmatrix}.}\)