Homomorfizmy modułów.

[*Kasia]

Mam dwa zadania z homomorfizmów modułów, z którymi nie mogę sobie poradzić. Będę wdzięczna za jakiekolwiek wskazówki.

1. Niech \(\displaystyle{ I, J}\) będą różnymi ideałami maksymalnymi pierścienia przemiennego \(\displaystyle{ R}\). Wykazać, że jedynym homomorfizmem \(\displaystyle{ R}\)-modułów \(\displaystyle{ R/I}\) i \(\displaystyle{ R/J}\) jest homomorfizm zerowy.

2. Niech \(\displaystyle{ I, J}\) będą ideałami przemiennej dziedziny \(\displaystyle{ R}\).
Uzasadnij, że jeżeli \(\displaystyle{ R}\)-moduły ilorazowe \(\displaystyle{ R/I}\) i \(\displaystyle{ R/J}\) są izomorficzne to \(\displaystyle{ I = J}\).

[Ein]

2. Skoro \(\displaystyle{ R/I\cong R/J}\), to \(\displaystyle{ Ann_R(R/I)=Ann_R(R/J)}\). W dziedzinie jest jedynka, więc \(\displaystyle{ I=Ann_R(R/I)}\) oraz \(\displaystyle{ J=Ann_R(R/J)}\).

(Jak widać wystarczy, by pierścień miał jedynkę, nie musi być dziedziną).

[*Kasia]

Co oznaczasz przez \(\displaystyle{ Ann_R}\)?

[Ein]

Anihilator \(\displaystyle{ Ann_R(S)=\{r\in R:\forall s\in S: rs=0\}}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) to podzbiór \(\displaystyle{ R}\)-modułu \(\displaystyle{ M}\).

[marcinz]

Coś mi się nie zgadza. Niech \(\displaystyle{ R=\mathbb{Z}[x_1,x_2,\ldots]}\) (pierścień wielomianów przeliczalnej liczby zmiennych), \(\displaystyle{ I=(x_1),J=0}\), wtedy \(\displaystyle{ R/I, R/J}\) są izomorficzne, ale \(\displaystyle{ I,J}\) nie są równe. Dobrze myślę?

[Wasilewski]

Jako pierścienie są izomorficzne, ale jako R-moduły nie, ponieważ w \(\displaystyle{ R \slash I}\) mnożenie przez \(\displaystyle{ x_{1}}\) jest zerowe.

[marcinz]

Rzeczywiście, głupi błąd. Co do zadania pierwszego niech \(\displaystyle{ f\colon R/I\to R/J}\) będzie homomorfizmem \(\displaystyle{ R-}\)modułów oraz \(\displaystyle{ a+I\in R/I}\), wtedy \(\displaystyle{ f(a+I)=a f(1+I).}\) Oznaczmy przez \(\displaystyle{ c\in R}\) element taki, że \(\displaystyle{ f(1+I)=c+J}\). Musimy pokazać, że \(\displaystyle{ c\in J}\). wybierzmy element \(\displaystyle{ b\in I\backslash J}\), wtedy \(\displaystyle{ J=f(I)=f(b+I)=b f(1+I)=bc+J}\), czyli \(\displaystyle{ bc\in J}\). Ideał \(\displaystyle{ J}\) jest maksymalny, więc pierwszy, co implikuje, że \(\displaystyle{ b\in J}\) lub \(\displaystyle{ c\in J}\), pierwszy przypadek nie zachodzi (bo wybraliśmy \(\displaystyle{ b\notin J}\)).

[Ein]

marcinz: nie ma założenia istnienia jedynki w pierścieniu.

[*Kasia]

Ein, wprost nie ma w poleceniu. Ale właściwie o innych nie mówiliśmy, więc pewnie jest takie ciche założenie.

Dzięki Wam bardzo za pomoc.