Homomorfizmy modułów.
-
- Użytkownik
- Posty: 2826
- Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin/warszawa
- Podziękował: 62 razy
- Pomógł: 482 razy
Homomorfizmy modułów.
Mam dwa zadania z homomorfizmów modułów, z którymi nie mogę sobie poradzić. Będę wdzięczna za jakiekolwiek wskazówki.
1. Niech \(\displaystyle{ I, J}\) będą różnymi ideałami maksymalnymi pierścienia przemiennego \(\displaystyle{ R}\). Wykazać, że jedynym homomorfizmem \(\displaystyle{ R}\)-modułów \(\displaystyle{ R/I}\) i \(\displaystyle{ R/J}\) jest homomorfizm zerowy.
2. Niech \(\displaystyle{ I, J}\) będą ideałami przemiennej dziedziny \(\displaystyle{ R}\).
Uzasadnij, że jeżeli \(\displaystyle{ R}\)-moduły ilorazowe \(\displaystyle{ R/I}\) i \(\displaystyle{ R/J}\) są izomorficzne to \(\displaystyle{ I = J}\).
1. Niech \(\displaystyle{ I, J}\) będą różnymi ideałami maksymalnymi pierścienia przemiennego \(\displaystyle{ R}\). Wykazać, że jedynym homomorfizmem \(\displaystyle{ R}\)-modułów \(\displaystyle{ R/I}\) i \(\displaystyle{ R/J}\) jest homomorfizm zerowy.
2. Niech \(\displaystyle{ I, J}\) będą ideałami przemiennej dziedziny \(\displaystyle{ R}\).
Uzasadnij, że jeżeli \(\displaystyle{ R}\)-moduły ilorazowe \(\displaystyle{ R/I}\) i \(\displaystyle{ R/J}\) są izomorficzne to \(\displaystyle{ I = J}\).
Ostatnio zmieniony 21 cze 2012, o 23:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych.
-
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
Homomorfizmy modułów.
2. Skoro \(\displaystyle{ R/I\cong R/J}\), to \(\displaystyle{ Ann_R(R/I)=Ann_R(R/J)}\). W dziedzinie jest jedynka, więc \(\displaystyle{ I=Ann_R(R/I)}\) oraz \(\displaystyle{ J=Ann_R(R/J)}\).
(Jak widać wystarczy, by pierścień miał jedynkę, nie musi być dziedziną).
(Jak widać wystarczy, by pierścień miał jedynkę, nie musi być dziedziną).
-
- Użytkownik
- Posty: 1358
- Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 222 razy
Homomorfizmy modułów.
Anihilator \(\displaystyle{ Ann_R(S)=\{r\in R:\forall s\in S: rs=0\}}\), gdzie \(\displaystyle{ S}\) to podzbiór \(\displaystyle{ R}\)-modułu \(\displaystyle{ M}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 370
- Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 53 razy
Homomorfizmy modułów.
Coś mi się nie zgadza. Niech \(\displaystyle{ R=\mathbb{Z}[x_1,x_2,\ldots]}\) (pierścień wielomianów przeliczalnej liczby zmiennych), \(\displaystyle{ I=(x_1),J=0}\), wtedy \(\displaystyle{ R/I, R/J}\) są izomorficzne, ale \(\displaystyle{ I,J}\) nie są równe. Dobrze myślę?
-
- Użytkownik
- Posty: 3921
- Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1194 razy
Homomorfizmy modułów.
Jako pierścienie są izomorficzne, ale jako R-moduły nie, ponieważ w \(\displaystyle{ R \slash I}\) mnożenie przez \(\displaystyle{ x_{1}}\) jest zerowe.
-
- Użytkownik
- Posty: 370
- Rejestracja: 26 sty 2010, o 21:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 53 razy
Homomorfizmy modułów.
Rzeczywiście, głupi błąd. Co do zadania pierwszego niech \(\displaystyle{ f\colon R/I\to R/J}\) będzie homomorfizmem \(\displaystyle{ R-}\)modułów oraz \(\displaystyle{ a+I\in R/I}\), wtedy \(\displaystyle{ f(a+I)=a f(1+I).}\) Oznaczmy przez \(\displaystyle{ c\in R}\) element taki, że \(\displaystyle{ f(1+I)=c+J}\). Musimy pokazać, że \(\displaystyle{ c\in J}\). wybierzmy element \(\displaystyle{ b\in I\backslash J}\), wtedy \(\displaystyle{ J=f(I)=f(b+I)=b f(1+I)=bc+J}\), czyli \(\displaystyle{ bc\in J}\). Ideał \(\displaystyle{ J}\) jest maksymalny, więc pierwszy, co implikuje, że \(\displaystyle{ b\in J}\) lub \(\displaystyle{ c\in J}\), pierwszy przypadek nie zachodzi (bo wybraliśmy \(\displaystyle{ b\notin J}\)).
-
- Użytkownik
- Posty: 2826
- Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin/warszawa
- Podziękował: 62 razy
- Pomógł: 482 razy
Homomorfizmy modułów.
Ein, wprost nie ma w poleceniu. Ale właściwie o innych nie mówiliśmy, więc pewnie jest takie ciche założenie.
Dzięki Wam bardzo za pomoc.
Dzięki Wam bardzo za pomoc.