Pierścienie lokalne

[Spektralny]

Powiemy, że pierścień z jedynką jest pierścieniem lokalnym, gdy ma dokładnie jeden maksymalny ideał lewostronny (co jest równoważne temu, że ma dokładnie jeden maksymalny ideał prawostronny).

Interesują mnie wyłącznie pierścienie nieprzemienne. Klasyczne przykłady pierścieni lokalnych, to algebra macierzy górnotrójkątynych o stałej przekątnej i pierścień szeregów formalnych \(\displaystyle{ [[P]]}\) nad pierścieniem z dzieleniem \(\displaystyle{ P}\). W przypadku nieprzemiennym raczej trudno mówić o lokalizacji pierścienia.

Czy znacie jakieś przykłady zespolonych algebr lokalnych o tej własności, że

(jedyny) maksymalny ideał lewostronny jest skończenie generowany?

Interesują mnie przykłady, które nie są natychmiastowymi modyfikacjami tych, które wymieniłem. Zauważmy, że \(\displaystyle{ [[P]]}\) ma taką własność, gdyż (jedynym) maksymalnym ideałem lewostronnym jest \(\displaystyle{ (X)}\).

[max]

Np. algebra \(\displaystyle{ \Lambda^{\bullet} V}\) dla zespolonej przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ V}\) (żeby to było nieprzemienne wymiar \(\displaystyle{ V}\) powinien być co najmniej 2).

Trochę przykładów jest u Lama w .

[Spektralny]

Tylko to jest algebra skończenie wymiarowa, więc wszystko jest skończenie generowane; więc de facto przykład trywialny.

Właśnie u Lama nie znalazłem za wiele przykładów.

[max]

No to może coś à la algebry Weyla:

Niech \(\displaystyle{ (R,\mathfrak{m})}\) będzie dowolną przemienną, noetherowską \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)-algebrą lokalną (tych jest od groma, bo pierścienie przemienne można zawsze lokalizować w ideałach pierwszych).

Wybierzmy elementy \(\displaystyle{ a_{i}\in \mathfrak{m}}\), \(\displaystyle{ i=1,\ldots, n}\) tak aby co najmniej jedno \(\displaystyle{ a_{i}}\) było niezerowe.

Mamy następującą nieprzemienną \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)-algebrę lokalną:

\(\displaystyle{ A = R[x_{1},\ldots, x_{n}]_{(x_{1},\ldots, x_{n})}[\partial_{1},\ldots, \partial_{n}]}\)
- pierścień operatorów różniczkowych o współczynnikach w pierścieniu lokalnym \(\displaystyle{ R[x_{1},\ldots, x_{n}]_{(x_{1},\ldots, x_{n})}}\), gdzie
\(\displaystyle{ \partial_{i}x_{i} = x_{i}\partial_{i} + a_{i}\\
\partial_{i}\partial_{j} = \partial_{j}\partial_{i}\\
\partial_{i}x_{j} = x_{j}\partial_{i}, \ i\neq j}\)
i wszystko przedłużamy na ułamki poprzez:
\(\displaystyle{ \partial_{i}\frac{f}{g} = \frac{f}{g} \partial_{i} + \frac{(\partial_{i}f - f\partial_{i})g - (\partial_{i}g - g\partial_{i})f}{f^{2}}}\)
dla wielomianów \(\displaystyle{ f,g}\).
Jedyny ideał maksymalny to \(\displaystyle{ \mathfrak{m}A + (x_{1},\ldots, x_{n})A + (\partial_{1},\ldots, \partial_{n})A}\).

Analogicznie można dla szeregów formalnych.

Poza tym pierścienie nieprzemienne można podobno czasem lokalizować w ideałach pierwszych otrzymując pierścienie lokalne ().

A jak ktoś zna dużo nieprzemiennych pierścieni z dzieleniem, to być może skleci jakiś nietrywialny przykład nieprzemiennego pierścienia waluacyjnego (

Kod: Zaznacz cały

http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/publ/59/n053p083.pdf

).

[Spektralny]

Ok, dzięki. Moja motywacja jest taka iż chciałbym mieć algebrę Banacha o takiej własności, co niestety nie jest łatwe, bo noetherowskie algebry Banacha są skończenie wymiarowe. Jeżeli interesuje Cię ten temat to zgłoś się na priv; wyjaśnię więcej.