Liczba ideałów maksymalnych
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Liczba ideałów maksymalnych
Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie rzeczywistą przestrzenią liniową z bazą Hamela mocy \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\). Czy liczba lewostronnych ideałów maksymalnych w algebrze \(\displaystyle{ \mathcal{L}(V)}\) wszystkich przekształceń liniowych na \(\displaystyle{ V}\) wynosi \(\displaystyle{ 2^{\mathfrak{c}}}\)?
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Liczba ideałów maksymalnych
Chyba nie. Są postulaty,które eleminują część ideałów jak dobrze pamiętam algebry unormowane...
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Liczba ideałów maksymalnych
Tej się nie da unormować w sposób pochodzący od byle jakiej normy na \(\displaystyle{ V}\), bo rozważasz wszystkie przekształcenia liniowe; w szczególności wszystkie funkcjonały liniowe musiałyby być ciagłe. Co więcej, nawet ograniczając się do operatorów ograniczonych potrafię pokazać, że \(\displaystyle{ \mathcal{B}(\ell_2)}\) ma dokładnie tyle maksymalnych ideałów lewostronnych.
Co rozumiesz przez 'postulaty'?
Co rozumiesz przez 'postulaty'?
-
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Liczba ideałów maksymalnych
Nie pamiętam nazw,ale to są warunki ponoć pozwalały część tych ideałów wyeleminować
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Liczba ideałów maksymalnych
Mam wrażenie, że masz na myśli ideały dwustronne. Wówczas znam odpowiedź na to pytanie.
EDIT: Policzyłem. W wolnej chwili zamieszczę rozwiązanie.
EDIT: Policzyłem. W wolnej chwili zamieszczę rozwiązanie.
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Liczba ideałów maksymalnych
Ja to widzę tak:
Elementy \(\displaystyle{ R = \mathcal{L}(V)}\) możemy sobie wyobrażać jako "macierze" \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) na \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) o wyrazach w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), których kolumny mają jedynie skończenie wiele wyrazów niezerowych (kolumny odpowiadają wartościom odwzorowania liniowego na kolejnych wektorach bazowych - każda taka wartość jest skończoną kombinacją liniową wektorów bazowych).
Nieco bardziej formalnie, jeśli \(\displaystyle{ (e_{\alpha})_{\alpha\in \mathfrak{c}}}\) jest bazą V, to mamy izomorfizm lewych R-modułów:
\(\displaystyle{ R\cong \prod_{\alpha\in \mathfrak{c}}L}\),
gdzie
\(\displaystyle{ L = \bigoplus_{\alpha\in \mathfrak{c}} \mathbb{R}e_{\alpha}}\)
a działanie R na L zadane jest poprzez działanie operatorów z R na V.
Zauważmy, że \(\displaystyle{ L}\) jest modułem prostym, bo dla dowolnych dwóch niezerowych wektorów \(\displaystyle{ v,w\in V}\) istnieje operator liniowy \(\displaystyle{ A\in R}\) taki, że \(\displaystyle{ Av = w}\).
Korzystając z tego izomorfizmu i prostoty \(\displaystyle{ L}\) można pokazać, że maksymalne lewe ideały na \(\displaystyle{ R}\) są w bijekcji z maksymalnymi ultrafiltrami na \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) (a tych jak wiadomo jest \(\displaystyle{ 2^{2^{\mathfrak{c}}}}\)).
Rzeczona bijekcja zadana jest poprzez zawężenie (zachowującej inkluzje) bijekcji między ideałami na \(\displaystyle{ R}\) a filtrami na \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\), która wygląda następująco:
\(\displaystyle{ {I\triangleleft R}\ni J\mapsto \{S\subset \mathfrak{c}\ : \ \exists_{A\in J} \forall_{\alpha\in \mathfrak{c}}: \ Ae_{\alpha} = 0\}}\).
Elementy \(\displaystyle{ R = \mathcal{L}(V)}\) możemy sobie wyobrażać jako "macierze" \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) na \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) o wyrazach w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), których kolumny mają jedynie skończenie wiele wyrazów niezerowych (kolumny odpowiadają wartościom odwzorowania liniowego na kolejnych wektorach bazowych - każda taka wartość jest skończoną kombinacją liniową wektorów bazowych).
Nieco bardziej formalnie, jeśli \(\displaystyle{ (e_{\alpha})_{\alpha\in \mathfrak{c}}}\) jest bazą V, to mamy izomorfizm lewych R-modułów:
\(\displaystyle{ R\cong \prod_{\alpha\in \mathfrak{c}}L}\),
gdzie
\(\displaystyle{ L = \bigoplus_{\alpha\in \mathfrak{c}} \mathbb{R}e_{\alpha}}\)
a działanie R na L zadane jest poprzez działanie operatorów z R na V.
Zauważmy, że \(\displaystyle{ L}\) jest modułem prostym, bo dla dowolnych dwóch niezerowych wektorów \(\displaystyle{ v,w\in V}\) istnieje operator liniowy \(\displaystyle{ A\in R}\) taki, że \(\displaystyle{ Av = w}\).
Korzystając z tego izomorfizmu i prostoty \(\displaystyle{ L}\) można pokazać, że maksymalne lewe ideały na \(\displaystyle{ R}\) są w bijekcji z maksymalnymi ultrafiltrami na \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) (a tych jak wiadomo jest \(\displaystyle{ 2^{2^{\mathfrak{c}}}}\)).
Rzeczona bijekcja zadana jest poprzez zawężenie (zachowującej inkluzje) bijekcji między ideałami na \(\displaystyle{ R}\) a filtrami na \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\), która wygląda następująco:
\(\displaystyle{ {I\triangleleft R}\ni J\mapsto \{S\subset \mathfrak{c}\ : \ \exists_{A\in J} \forall_{\alpha\in \mathfrak{c}}: \ Ae_{\alpha} = 0\}}\).
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy