Liczba ideałów maksymalnych

[Spektralny]

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie rzeczywistą przestrzenią liniową z bazą Hamela mocy \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\). Czy liczba lewostronnych ideałów maksymalnych w algebrze \(\displaystyle{ \mathcal{L}(V)}\) wszystkich przekształceń liniowych na \(\displaystyle{ V}\) wynosi \(\displaystyle{ 2^{\mathfrak{c}}}\)?

[Kartezjusz]

Chyba nie. Są postulaty,które eleminują część ideałów jak dobrze pamiętam algebry unormowane...

[Spektralny]

Tej się nie da unormować w sposób pochodzący od byle jakiej normy na \(\displaystyle{ V}\), bo rozważasz wszystkie przekształcenia liniowe; w szczególności wszystkie funkcjonały liniowe musiałyby być ciagłe. Co więcej, nawet ograniczając się do operatorów ograniczonych potrafię pokazać, że \(\displaystyle{ \mathcal{B}(\ell_2)}\) ma dokładnie tyle maksymalnych ideałów lewostronnych.

Co rozumiesz przez 'postulaty'?

[Kartezjusz]

Nie pamiętam nazw,ale to są warunki ponoć pozwalały część tych ideałów wyeleminować

[Spektralny]

Mam wrażenie, że masz na myśli ideały dwustronne. Wówczas znam odpowiedź na to pytanie.

EDIT: Policzyłem. W wolnej chwili zamieszczę rozwiązanie.

[max]

Ja to widzę tak:

Elementy \(\displaystyle{ R = \mathcal{L}(V)}\) możemy sobie wyobrażać jako "macierze" \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) na \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) o wyrazach w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\), których kolumny mają jedynie skończenie wiele wyrazów niezerowych (kolumny odpowiadają wartościom odwzorowania liniowego na kolejnych wektorach bazowych - każda taka wartość jest skończoną kombinacją liniową wektorów bazowych).

Nieco bardziej formalnie, jeśli \(\displaystyle{ (e_{\alpha})_{\alpha\in \mathfrak{c}}}\) jest bazą V, to mamy izomorfizm lewych R-modułów:
\(\displaystyle{ R\cong \prod_{\alpha\in \mathfrak{c}}L}\),
gdzie
\(\displaystyle{ L = \bigoplus_{\alpha\in \mathfrak{c}} \mathbb{R}e_{\alpha}}\)
a działanie R na L zadane jest poprzez działanie operatorów z R na V.
Zauważmy, że \(\displaystyle{ L}\) jest modułem prostym, bo dla dowolnych dwóch niezerowych wektorów \(\displaystyle{ v,w\in V}\) istnieje operator liniowy \(\displaystyle{ A\in R}\) taki, że \(\displaystyle{ Av = w}\).

Korzystając z tego izomorfizmu i prostoty \(\displaystyle{ L}\) można pokazać, że maksymalne lewe ideały na \(\displaystyle{ R}\) są w bijekcji z maksymalnymi ultrafiltrami na \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\) (a tych jak wiadomo jest \(\displaystyle{ 2^{2^{\mathfrak{c}}}}\)).

Rzeczona bijekcja zadana jest poprzez zawężenie (zachowującej inkluzje) bijekcji między ideałami na \(\displaystyle{ R}\) a filtrami na \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\), która wygląda następująco:
\(\displaystyle{ {I\triangleleft R}\ni J\mapsto \{S\subset \mathfrak{c}\ : \ \exists_{A\in J} \forall_{\alpha\in \mathfrak{c}}: \ Ae_{\alpha} = 0\}}\).

[Spektralny]

Tak, taki jest dowód.