Sprawdzanie łączności, przemienności

halinow1 · Post autor: **halinow1** » 31 sty 2012, o 14:22

\(\displaystyle{ *}\) jest działaniem w zbiorze liczb całkowitych: \(\displaystyle{ x*y = x+y+xy}\). Czy \(\displaystyle{ *}\) jest łączne, przemienne? Czy istnieje element neutralny i czy każdy element \(\displaystyle{ x}\) ma element odwrotny?

gabi123456 · Post autor: **gabi123456** » 31 sty 2012, o 14:44

Działanie * jest łączne i przemienne.
Liczba 0 jest elementem neutralnym działania *.
Element odwrotny do x istnieje wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ x \neq -1}\). Wtedy \(\displaystyle{ x^{-1}= \frac{-x}{x+1}}\).

halinow1 · Post autor: **halinow1** » 31 sty 2012, o 14:51

Dlaczego \(\displaystyle{ x \neq-1}\) ?

gabi123456 · Post autor: **gabi123456** » 31 sty 2012, o 19:27

Jeśli \(\displaystyle{ x=-1}\) to nie istnieje takie \(\displaystyle{ y \in R}\), że \(\displaystyle{ x*y=0}\)

halinow1 · Post autor: **halinow1** » 31 sty 2012, o 19:35

Racja. Nie zauważyłem. Dzięki.

Elvis · Post autor: **Elvis** » 3 lut 2012, o 19:27

Inne spojrzenie: zauważyć, że \(\displaystyle{ f(x)=x+1}\) jest bijekcją \(\displaystyle{ \mathbb Z}\) oraz, że \(\displaystyle{ x*y = f^{-1}(f(x) \cdot f(y))}\). Dlatego to jest zwyczajne mnożenie liczb całkowitych, tylko numeracja przesunęła się o \(\displaystyle{ 1}\).

Gotrogoth · Post autor: **Gotrogoth** » 4 lut 2012, o 02:36

Czy w tym przypadku element odwrotny zostaje spelniony?
Jak patrze to mamy zbior liczb calkowitych i np podstawiajac za x = 2 otrzymamy element odwrotny \(\displaystyle{ \frac{-2}{3}}\) , ktory nie nalezy juz do zbioru liczb calkowitych