rozszerzenie pierścienia o element algebraiczny

[tetra20]

rozszerzenie pierścienia o element algebraiczny
Muszę coś napisać na ten temat, definicje, ale nic nie mogę znaleźć.

[szw1710]

Element algebraiczny nad pierścieniem P to taki element, który jest pierwiastkiem pewnego wielomianu o współczynnikach z P. Wielomian najniższego stopnia o tej własności nazywamy wielomianem minimalnym tego elementu.

Przykład. \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) jest elementam algebraicznym nad pierścieniem liczb całkowitych, bo jest pierwiastkiem wielomianu (minimlnego) \(\displaystyle{ x^3-2}\).

Co do samej postaci rozszerzenia musiałbym sobie to przypomnieć, a pewnie jest ktoś bardziej na świeżo. Kto wie czy rozszerzenie pierścienia P a element algebraiczny \(\displaystyle{ a}\) nie ma postaci

\(\displaystyle{ P[a]=\{\alpha_na^n+\alpha_{n-1}a^{n-1}+\dots+a_0\;:\;n\in\mathbb{N}, \alpha_0,\dots,\alpha_n\in P\}.}\)

Ale głowy nie daję.

[Piotr Pstragowski]

Co do samej postaci rozszerzenia musiałbym sobie to przypomnieć, a pewnie jest ktoś bardziej na świeżo. Kto wie czy rozszerzenie pierścienia P a element algebraiczny \(\displaystyle{ a}\) nie ma postaci

\(\displaystyle{ P[a]=\{\alpha_na^n+\alpha_{n-1}a^{n-1}+\dots+a_0\;:\;n\in\mathbb{N}, \alpha_0,\dots,\alpha_n\in P\}.}\)

Ale głowy nie daję.

Zależy, co masz na myśli. Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest dowolne, to wtedy tak, bo rozszerzenie pierścienia o dowolny element zapisuje się w tej postaci.

Jeśli \(\displaystyle{ n}\) ma być ustalone, to jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a}\) jest całkowite, tzn. spełnia wielomian z wiodącym współczynnikiem 1.