Matematyka.pl

Zadanie:
Niech \(\displaystyle{ \rho}\) będzie reprezentacją grupy cyklicznej rzędu 6 wyznaczoną przez odwzorowanie \(\displaystyle{ 1 \longmapsto \left[\begin{array}{cc}1&-1\\1&0\end{array}\right]}\).

Dodatkowe punkty do zadania:
1. Stosując teorię charakterów sprawdź, czy \(\displaystyle{ \rho}\) jest rozkładalna. Jeśli jest, to rozłóż ją na sumę prostą podreprezentacji nierozkładalnych.
2. Znaleźć macierze reprezentacji w nowej bazie, będącej sumą baz znalezionych podprzestrzeni niezmienniczych.
3. Czy dwuwymiarowa reprezentacja grupy cyklicznej może być nierozkładalna?
4. Ile nierozkładalnych reprezentacji ma skończona grupa cykliczna?

Zacznijmy od 1. Ta reprezentacja jest dwuwymiarowa, więc podreprezentacje mogą być tylko jednowymiarowe. Potrafisz ich poszukać?

Właściwie to kompletnie nie wiem jak zabrać się za to zadanie. Czy można oznaczyć tą macierz jako B i wtedy znajduje się taką macierz A, żeby zachodziła równość: \(\displaystyle{ A^{-1}BA}\) ? Kompletnie nie mam pojęcia.

Nie napisałaś o jaką równość Ci chodzi. Ja proponuję skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \rho}\) zadaje strukturę \(\displaystyle{ G-\text{modułu na } \mathbb{C}^2}\) (założyłem, że rozważasz reprezentacje nad \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\)). Podreprezentacja właściwa jest jednowymiarowa. Musisz więc sprawdzić czy znajdziesz taki wektor, że \(\displaystyle{ \rho(1)(v) \in span(v)}\).