Matematyka.pl

Opisać monoid \(\displaystyle{ (P(X), \cap )}\) wszystkich podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X= \lbrace a,b \rbrace}\). Korzystając z twierdzenia o reprezentacji zanurzyć ten monoid w monoid przekształceń.

Może zacznij od rozpisania zbioru potęgowego zbioru \(\displaystyle{ X=\{a,b\}}\)? Gdzie dokladnie leży problem?

Zbiór potęgowy wygląda moim zdaniem tak: \(\displaystyle{ P( \left\{ a,b \right\}) = \left\{ \emptyset , \left\{ a \right\}, \left\{ b \right\} , \left\{ a,b \right\} \right\}}\). Problem jest z całą resztą zadania. Nie wiem jak opisać ten monoid ani tym bardziej jak zanurzyć go w monoid przekształceń.

Za opis możesz uznać tabelkę działania na Twoim czteroelementowym zbiorze, co biorąc pod uwagę, że jest to zwykłe przecięcie, jest nietrudne.

Biorąc element \(\displaystyle{ m}\) monoidu \(\displaystyle{ M}\), możesz rozpatrzyć funkcję \(\displaystyle{ f_m: M \rightarrow M}\) zadaną przez \(\displaystyle{ f_m(a) = a * m}\). (Taka funkcja jest elementem monoidu \(\displaystyle{ M^M}\) z składaniem jako działaniem).

Zobacz, jak wyglądają te funkcje dla Twojego monoidu (możesz je odczytać z tabelki, kiedy taką zrobisz.)

Czyli na przykład \(\displaystyle{ f( \left\{ a \right\} ) = \left\{ a \right\} \circ \left\{ b \right\} = \emptyset}\) ,

\(\displaystyle{ f( \left\{ a \right\} ) = \left\{ a \right\} \circ \left\{ a,b \right\} = \left\{ a \right\}}\), dobrze rozumiem?