grupa nieabelowa

[BlueSky]

Dana jest grupa nieabelowa \(\displaystyle{ G}\) oraz takie jej elementy \(\displaystyle{ a,b}\), że spełnione są następujące warunki:
\(\displaystyle{ b^3a=e\\ba=a^2b}\)
Dowieść, że \(\displaystyle{ (ab)^3=e}\)

[Lorek]

Hm, mi wyszło, że \(\displaystyle{ a=e}\), a wtedy to już jest trywialne.

[Rogal]

\(\displaystyle{ ba = a^{2} b \\
bab^{2}a = a^{2} b^{3}a = a^{2} \\
bab^{2} = a \\
b^{3} a b^{2} = b^{2} a \\
b^{2} = b^{2} a \\
e = a}\)

Lol, faktycznie.

[BlueSky]

Hm... Z tym zadaniem ogólnie jest coś nie tak, bo w oryginale jest chyba błąd w druku i mam napisane, że spełnia taki pierwszy warunek \(\displaystyle{ ^3a=e}\). I bądź tu mądry co to ma oznaczać. Gdzieś na necie znalazłam, że autorowi mogło chodzić np. o \(\displaystyle{ b^3a=e}\), więc jak widać jakiś w tym sens jest - dzięki za pomoc.

PS. Chyba, że ktoś ma inny pomysł na to, co powinniśmy podnieść do sześcianu w warunku \(\displaystyle{ ^3a=e}\)?:>

[Rogal]

Może trzeba zrobić symetrię osiową i miało być \(\displaystyle{ a^{3} = e?}\)

[BlueSky]

No właśnie chyba raczej \(\displaystyle{ ^3a}\).
A tak z ciekawości, jakby tam było \(\displaystyle{ a^3=e}\) to dałoby się to zadanie rozwiązać?

[Rogal]

Jasne. Wtedy tak na oko G byłoby izomorficzne z \(\displaystyle{ S_{3}}\), gdzie a byłoby obrotem, a b symetrią osiową.

[withdrawn]

to jak w takim razie ruszyć to zadanie gdyby warunki były takie:
\(\displaystyle{ a^{3} = e}\)
\(\displaystyle{ ba = a^{2}b}\) ?
bo mi jakos nie wychodzi ;p zaczelam cos przeksztalcac( ponizej) ale nic z tego;/

\(\displaystyle{ (ab)^{3} = (ababab) = aa^{2}ba^{-1}aa^{2}ba^{-1}aa^{2}ba^{-1} = a^{3}bea^{2}bea^{2}ba^{-1} = ba^{2}ba^{2}ba^{-1} = bbabaa^{-1} = b^{2}ab = bbab = a^{2}ba^{-1}a^{-2}baab = a^{2}bbaab}\)

[Rogal]

\(\displaystyle{ ba = a^2 b \\
aba = b \\
baba = b^2 \wedge \ abab = b^2 \\
babab = b^3 \\
ababab = ab^3}\)
Tyle potrafię pokazać z marszu, ale coś musiało mi się z deka pochrzanić z tym \(\displaystyle{ S_{3}}\), bo nie potrafię tego pokazać.

[xiikzodz]

Jeśli:

\(\displaystyle{ G=\left\langle a,b|a^3=1, ba=a^2b\right\rangle}\)

to rzeczywiście chodzi o grupę izomorficzną z grupą \(\displaystyle{ D_6\simeq S_3}\) izometrii trójkąta równobocznego, bo tak zresztą się tę grupę reprezentuje. Dokładniej istnieje epimorfizm \(\displaystyle{ G\to D_6}\) polegający na posłaniu \(\displaystyle{ a}\) w obrót, zaś \(\displaystyle{ b}\) w symetrię, który jest również izomorfizmem, o czym nietrudno się przekonać. Tym niemniej nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ (ab)^3=1}\), bo złożenie obrotu z symetrią jest symetrią, a nie obrotem. Pewnie chodzi więc o inne zadanie.

[max]

Bardzo brakuje relacji \(\displaystyle{ a^{2} = 1}\).
Bez tego nietrywialny produkt półprosty \(\displaystyle{ C_{3}\rtimes C_{\infty}}\) też spełnia relacje z tej prezentacji.

[xiikzodz]

Oj bardzo brakuje.

Epimorfizm \(\displaystyle{ G\to D_6}\) istnieje, co wystarcza do rozstrzygnięcia tej formy tezy zadania.