Matematyka.pl

Niech P będzie pierścieniem funkcji ciągłych na R o wartościach rzeczywistych z dodawaniem i mnożeniem punktowym jako działaniami. Czy ideałem pierścienia P jest:
a) \(\displaystyle{ { f \in P : f(7)=0 };}\)
b) zbior wielomianow stopnia mniejszego od 7;
c) zbior funkcji syalych ;
d) \(\displaystyle{ { f \in P : f(0) = 7 }}\) ?

prosze o jakies wyjasnienie danych odpowiedzi..

a) Tak. W pewnym głębokim sensie, wszystkie idealy w pierscieniach przemiennych sa tej postaci. Zostawiam do zastanowienia sie, bo to jest bardzo wazne.
b) Nie, bo zawiera jednosc, a ideal zawierajacy jednosc musi byc calym pierscieniem. A nie wszystkie funkcje ciagle sa wielomianami.
c) Nie, bo tak jak wyzej.
d) Nie, bo zawiera funkcje stale rowna 7, ktora jest odwracalna w tym pierscieniu i zachodzi to, co w c) i w d).