grupy: zbiory przekształceń płaszczyzny

[BlueSky]

To jaka jest izometria odwrotna do złożenia dwóch lub trzech symetrii osiowych?

Złożenie dwóch lub trzech symetrii osiowych? (skoro ma być identyczne)

[Ein]

No właśnie o to chodzi. Czyli ściśle rzecz biorąc mamy następującą sytuację:

\(\displaystyle{ r_1,r_2,r_3}\) - trzy odbicia, względem prostych
\(\displaystyle{ r_i=r_i^{-1}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,3}\)

a więc: \(\displaystyle{ (r_1\circ r_2\circ r_3)^{-1}=r_3^{-1}\circ r_2^{-1} r_1^{-1}=r_3\circ r_2\circ r_1}\).

Podobnie dla 2 symetrii. (Zresztą analogon powyższego wzoru zachodzi dla dowolnej grupy).

Rozumowanie całe jest następujące: każda izometria płaszczyzny jest złożeniem co najwyżej trzech symetrii względem prostych (przyjmijmy, że identyczność to złożenie zera takich symetrii). Symetria względem prostej jest odwrotna do siebie samej. A więc każda izometria ma izometrię odwrotną (rozumowanie powyżej).

Ponieważ identyczność jest elementem neutralnym składania, dla każdej izometrii istnieje izometria do niej odwrotna, działanie składania jest łączne oraz złożenie izometrii jest izometrią, zbiór izometrii wraz z działaniem składania jest grupą.

To jest dla Ciebie jasne?

***

Czy wiesz już dlaczego zbiór symetrii osiowych/punktowych wraz ze składaniem nie jest grupą? Pomyślałaś co mogłoby być elementem neutralnym?

[Zordon]

Element odwrotny można też inaczej, jeśli się pokaże, że każda izometria \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) jest bijekcją ("na" nie jest oczywiste) to wtedy już łatwo widać, że funkcja odwrotna jest też izometrią.

[BlueSky]

Ein, tak, dzięki, teraz jest już jasne.

Natomiast, jeżeli chodzi o te symetrie to tak myślę, czy można ich niebycie grupami umotywować tym, że:
a) Składanie symetrii osiowych nie jest działaniem w tym zbiorze, bo złożenie symetrii osiowych jest obrotem lub translacją.
b) Złożenie dwóch symetrii środkowych jest translacją, a zatem podobnie jak w poprzednim
przypadku, składanie symetrii środkowych nie jest operacja zamkniętą w zbiorze symetrii środkowych.

[Ein]

Natomiast, jeżeli chodzi o te symetrie to tak myślę, czy można ich niebycie grupami umotywować tym, że:
a) Składanie symetrii osiowych nie jest działaniem w tym zbiorze, bo złożenie symetrii osiowych jest obrotem lub translacją.

Rozumowanie wstępnie ok, ale musisz jeszcze wykazać, że obroty i translacje nie są symetriami osiowymi. Rozważ zbiór punktów stałych tych przekształceń (jaki jest, a jaki powinien być w przypadku symetrii osiowych).

b) Złożenie dwóch symetrii środkowych jest translacją, a zatem podobnie jak w poprzednim
przypadku, składanie symetrii środkowych nie jest operacja zamkniętą w zbiorze symetrii środkowych.

Jak wyżej.

Widzisz, radzisz sobie
Możesz również rozważyć brak elementu neutralnego (identyczność nie jest symetrią).