Ideał w pierścieniu wielomianów

[lukasz_650]

Podać przykład ideału w \(\displaystyle{ {\mathbb{Z}}_{6} [x]}\), który nie jest ideałem głównym.

[Zordon]

\(\displaystyle{ (2,x)}\)

[lukasz_650]

Też o tym myślałem, ale niestety wydaje mi się, że jest to ideał główny generowany przez \(\displaystyle{ 3x + 2}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ f \in (3x + 2)}\), to \(\displaystyle{ f = g(3x + 2) = g2 + (3g)x \in (2,x)}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ g}\)
i w drugą stronę - jeżeli \(\displaystyle{ f \in (2,x)}\), to dla pewnych wielomianów \(\displaystyle{ g, h}\) mamy \(\displaystyle{ f = g2 + hx = 4g(3x+2) + h(2x+3)(3x+2) = (4g + h(2x+3))(3x+2) \in (3x+2)}\).

[Zordon]

Tak, masz rację. Dzisiaj wieczorem pomyśle nad tym

[xiikzodz]

Być może ten działa:

\(\displaystyle{ (x+1,3)}\).

[max]

Trudno będzie tego dokonać.

Z twierdzenia chińskiego o resztach:
\(\displaystyle{ \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}[x]\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x]\times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}[x]}\)
a iloczyn kartezjański pierścieni ideałów głównych jest pierścieniem ideałów głównych.