Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ Z\left[ \sqrt{5} \right] =\left\{ a+b \sqrt{5}:a,b \in Z \right\}}\). Sprawdź, czy istnieją dzielniki zera w pierścieniu:\(\displaystyle{ \left( Z\left[ \sqrt{5} \right],+,* \right)}\)

gdyby istniały do byłoby \(\displaystyle{ (a+b \sqrt{5})(c+d \sqrt{5})=0}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b,c,d\in\mathbb{Z}}\). Wtedy mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
ac+5bd=0\\
ad+bc=0
\end{cases}}\)
i wydaje mi się, że poza rozwiązaniem \(\displaystyle{ a=b=c=d=0}\) nie ma on innych rozwiązań, czyli, że jest do pierścień bez dzielników zera.

nowheredense_man pisze: i wydaje mi się, że poza rozwiązaniem \(\displaystyle{ a=b=c=d=0}\) nie ma on innych rozwiązań, czyli, że jest do pierścień bez dzielników zera.

Wystarczy, że \(\displaystyle{ a=b=0 \vee c=d=0}\)