Wyznacz element odwrotny

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
Kanodelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1267
Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Malbork
Podziękował: 419 razy
Pomógł: 114 razy

Wyznacz element odwrotny

Post autor: Kanodelo »

Wyznaczyć element odwrotny do
\(\displaystyle{ 7}\) w ciele \(\displaystyle{ \mathcal{Z}_{17}}\).

Problem w tym, że na ćwiczeniach mieliśmy tylko jeden taki przykład i w ogóle nie mam pojęcia co się z czego wzięło. Było wyznaczyć element odwrotny do \(\displaystyle{ 13}\) w ciele \(\displaystyle{ \mathcal{Z}_{23}}\) i nasz kochany wykładowca napisał sobie:
\(\displaystyle{ 13x=1 \ mod 23 \\
1=3-2*1 \\
3-2*(10-3*3) \\
7*3-2*10 \\
7(13-10)-2*10 \\
7*13-9*10 \\
7*13-9(23-13) \\
16*13-9*23 \\
1=16*13-9*23 \ /mod 23 \\
1=16*13}\)

No więc nie wiem skąd się te liczby wzięły i nie widzę tu żadnej zasady, tak więc prosiłbym o wyjaśnienie. Mam jeszcze dwa takie zadania, ale jak zrozumiem to jedno, to już dam sobie radę.
pipol

Wyznacz element odwrotny

Post autor: pipol »

\(\displaystyle{ 7^{-1}=5}\)
Kanodelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1267
Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Malbork
Podziękował: 419 razy
Pomógł: 114 razy

Wyznacz element odwrotny

Post autor: Kanodelo »

pipol pisze:\(\displaystyle{ 7^{-1}=5}\)
No dobra, ale co mi to daje? Bo na prawdę nic z tego nie rozumiem.
Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1502
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 475 razy

Wyznacz element odwrotny

Post autor: Psiaczek »

Kanodelo pisze:
pipol pisze:\(\displaystyle{ 7^{-1}=5}\)
No dobra, ale co mi to daje? Bo na prawdę nic z tego nie rozumiem.
Znasz algorytm Euklidesa? Można tak:


\(\displaystyle{ 17=2 \cdot 7+3, 7=2 \cdot 3+1}\) i teraz od tyłu : \(\displaystyle{ 1=7-2 \cdot 3, 1=7-2(17-2 \cdot 7),1=5 \cdot 7-2 \cdot 17}\) i otrzymaliśmy przy 7 współczynnik 5 tak jak ci kolega podał.
Kanodelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1267
Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Malbork
Podziękował: 419 razy
Pomógł: 114 razy

Wyznacz element odwrotny

Post autor: Kanodelo »

Szczerze mówiąc, nie mam pojęcia co to jest algorytm euklidesa, ale zaraz to poszukam na wikipedii, bo wypadałoby skumać.
Ale w każdym razie dzięki za naprowadzenie.-- 4 kwi 2011, o 08:42 --\(\displaystyle{ 7x=1 mod 17}\)
stosuje rozszerzony algorytm euklidesa:
\(\displaystyle{ 17 \ 7 \ 2 \ resta \ 3 \\
7 \ 3 \ 2 \ reszta \ 1 \\
3 \ 1 \ 3 \ reszta 0}\)


\(\displaystyle{ 3=1*17−2*7 \\
1=1*7−2*3\\
0=1*3−3*1}\)

I właściwie co dalej, bo co tu jest w końcu rozwiązaniem?
ODPOWIEDZ