Które z podanych zbiorów liczbowych są ciałami część druga?

[Kanodelo]

Witam wszystkich zapalonych matematyków. Otóż przygotowuję się do kolokwium z algebry i mam zadania, do których nie mam odpowiedzi, dlatego też proszę Was o sprawdzenie.

Które z podanych zbiorów liczbowych wraz ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia są ciałami:
e) zbiór liczb wymiernych, które są reprezentowane przez ułamki w nieskracalnej postaci z mianownikami będącymi potęgami ustalonej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\)
f) zbiór liczb rzeczywistych postaci \(\displaystyle{ x+y \sqrt[3]{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y \in \mathcal{Q}}\)
g) zbiór liczb zespolonych postaci \(\displaystyle{ x+yi}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y\in\mathcal{Z}}\)
h) zbiór liczb zespolonch postaci \(\displaystyle{ x+yi}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y\in\mathcal{Q}}\)

Moje odpowiedzi
e) TAK
f) TAK
g) NIE, bo w elemencie odwrotnym x,y mogą nie należeć do całkowitych
h) Myślę, że TAK, ale nie jestem pewien

Proszę o sprawdzenie i ewentualną korektę. Z góry dziękuję.

[pipol]

e)zle
f)zle
g)dobrze
h)TAK

[Kanodelo]

No tak, w f) trzeba dpoisać założenie, że przy wyznaczaniu elementu odwrotnego mianownik różny od zera.
Ale e) czemu źle? Wydaje mi się, że wszystkie aksjomaty są spełnione.

[pipol]

f) nie jest zamknięte, ze względu na mnożenie. Zastanów się czy element \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{2}}\) jest elementem tego zbioru.
podobnie e)

[Kanodelo]

A, faktycznie. Nie przyszło mi to do głowy...
Dzięki.