Dowieść, że jedynym elementem spełniającym warunek jest e

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
freeloser91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 67
Rejestracja: 28 lut 2011, o 11:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 32 razy

Dowieść, że jedynym elementem spełniającym warunek jest e

Post autor: freeloser91 » 14 mar 2011, o 12:17

Dowieść, że jedynym elementem spełniającym warunek \(\displaystyle{ a^2=a}\) w grupie\(\displaystyle{ \left( G, \cdot \right)}\) jest element neutralny.

Zabieram się za to następujące: biorę \(\displaystyle{ a, b \in G}\).
\(\displaystyle{ a \cdot b = a}\)
\(\displaystyle{ b = a^{-1} a}\)
\(\displaystyle{ b = 1}\)

Jedynym rozwiązaniem równania jest b = 1. Jest to też element neutralny według mnożenia. Czy trzeba to jeszcze wykazywać z definicji grupy czy wystarczy po prostu przypomnieć ten fakt?

Pozdrawiam,

Awatar użytkownika
Psiaczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1466
Rejestracja: 22 lis 2010, o 09:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska, Warmia, Olsztyn :)
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 466 razy

Dowieść, że jedynym elementem spełniającym warunek jest e

Post autor: Psiaczek » 14 mar 2011, o 12:28

freeloser91 pisze:Dowieść, że jedynym elementem spełniającym warunek \(\displaystyle{ a^2=a}\) w grupie\(\displaystyle{ \left( G, \cdot \right)}\) jest element neutralny.

Zabieram się za to następujące: biorę \(\displaystyle{ a, b \in G}\).
\(\displaystyle{ a \cdot b = a}\)
\(\displaystyle{ b = a^{-1} a}\)
\(\displaystyle{ b = 1}\)

Jedynym rozwiązaniem równania jest b = 1. Jest to też element neutralny według mnożenia. Czy trzeba to jeszcze wykazywać z definicji grupy czy wystarczy po prostu przypomnieć ten fakt?

Pozdrawiam,
Trochę nie czaję dlaczego tak dziwnie rozwiązujesz, pomnóż równośc z założenia aa=a z przez element odwrotny do a (istnieje bo to grupa) , i natychmiast dostajesz \(\displaystyle{ aaa ^{-1}=aa ^{-1}}\) czyli ae=e, czyli dalej a=e

ODPOWIEDZ