mam takie zadanie i nie wiem jak do tego podejść
Dodać i pomnożyć następujące wielomiany(bajty) w pierścieniu
\(\displaystyle{ Z _{2}[x]/(x ^{8} +x ^{4}+x ^{3}+x +1)= GF(2 ^{8})}\)
a) '57'+'02
b) '03'+'03'
c) 'FF'+'FF'
dodawanie i mnożenie w pierścieniu
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5356
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
dodawanie i mnożenie w pierścieniu
Jak na moje oko, tu są 3 różne "obiekty".
Po pierwsze, masz pierścień reszt z dzielenia przez podany wielomian, których jest dokładnie tyle, ile różnych wielomianów stopnia co najwyżej 7 nad \(\displaystyle{ Z_2}\), czyli \(\displaystyle{ 2^8}\).
Po drugie masz pewien pierścień \(\displaystyle{ 2^8}\)-elementowy, który jest izomorficzny (a nie równy, jak napisałeś) z podanym pierścieniem reszt. Dodawanie i mnożenie jest indukowane przez działania w pierścieniu reszt (de facto są to liczby (maksymalnie) 8-cyfrowe zapisane z systemie binarnym - czyli po prostu współczynniki tych wielomianów).
Po trzecie, masz liczby (maksymalnie) dwucyfrowe, zapisane w systemie szesnastkowym, których również jest \(\displaystyle{ 2^8}\), przy czym dodawanie i mnożenie jest również indukowane przez działania w pierścieniu reszt.
Wobec tego można zrobić tak, że podane liczby zapisujesz jako wielomiany i wykonujesz na nich działania w pierścieniu wielomianów - zwykłe dodawanie i mnożenie modulo wielomian. Wynik zapisujesz w takiej postaci, w jakiej powinien być (albo jako wielomian, albo jako liczbę dwucyfrową w systemie 16-tkowym).
Np \(\displaystyle{ 57_{16}=01010111_2\ \sim\ x^6+x^4+x^2+x+1\in\mathbb{Z}_2[x]}\)
Pozdrawiam.
Po pierwsze, masz pierścień reszt z dzielenia przez podany wielomian, których jest dokładnie tyle, ile różnych wielomianów stopnia co najwyżej 7 nad \(\displaystyle{ Z_2}\), czyli \(\displaystyle{ 2^8}\).
Po drugie masz pewien pierścień \(\displaystyle{ 2^8}\)-elementowy, który jest izomorficzny (a nie równy, jak napisałeś) z podanym pierścieniem reszt. Dodawanie i mnożenie jest indukowane przez działania w pierścieniu reszt (de facto są to liczby (maksymalnie) 8-cyfrowe zapisane z systemie binarnym - czyli po prostu współczynniki tych wielomianów).
Po trzecie, masz liczby (maksymalnie) dwucyfrowe, zapisane w systemie szesnastkowym, których również jest \(\displaystyle{ 2^8}\), przy czym dodawanie i mnożenie jest również indukowane przez działania w pierścieniu reszt.
Wobec tego można zrobić tak, że podane liczby zapisujesz jako wielomiany i wykonujesz na nich działania w pierścieniu wielomianów - zwykłe dodawanie i mnożenie modulo wielomian. Wynik zapisujesz w takiej postaci, w jakiej powinien być (albo jako wielomian, albo jako liczbę dwucyfrową w systemie 16-tkowym).
Np \(\displaystyle{ 57_{16}=01010111_2\ \sim\ x^6+x^4+x^2+x+1\in\mathbb{Z}_2[x]}\)
Pozdrawiam.
-
Mart_01
Re: dodawanie i mnożenie w pierścieniu
Czy ktoś mógłby rozwinąć ten przypadek? Mam podobne zadanie i nadal nie rozumiem, w jaki sposób rozwiązuje się tego rodzaju zadania. Nie mogę znaleźć żadnych źródeł w Internecie...
-
krl
- Użytkownik
- Posty: 609
- Rejestracja: 10 lis 2009, o 22:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 135 razy
Re: dodawanie i mnożenie w pierścieniu
Notacja w temacie, który odgrzebałaś, jest nietypowa. Jeśli chcesz, by coś Ci wyjaśnić, napisz dokładnie i w pełni swoje pytanie, stosując notację, której Ty używasz.
-
Mart_01
Re: dodawanie i mnożenie w pierścieniu
Hej, przepraszam za brak odpowiedzi, ale moderator Jan Kraszewski zupełnie bez żadnej informacji usunął mój post. Bardzo niegrzeczne zachowanie. Znalazłam go dopiero w koszu przeglądając posty swojego profilu, bo byłam zdziwiona, że nie wyświetla się w wiadomościach. Przechodząc do rzeczy: wklejam swoją odpowiedź raz jeszcze i dziękuję z góry wszystkim, którzy chcieliby pomóc 
.
---
Dzięki za odpowiedź. Właśnie mam do rozwiązania dokładnie to samo zadanie, lecz trochę więcej przykładów.
a) '57'+'02
b) '03'+'03'
c) 'FF'+'0F'
Spróbowałam to już rozwiązać, czytając Wikipedię i oglądając parę (trochę na inny temat) filmów.
Oto moje wyniki:
a) 001010101, \(\displaystyle{ x^{6}+x^{4}+x^{2}+1}\)
b) 0
c) 11110000, \(\displaystyle{ x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}}\)
Czy to są prawidłowe odpowiedzi, czy jednak nadal czegoś nie rozumiem i nie biorę pod uwagę?
. ---
Dzięki za odpowiedź
. Właśnie mam do rozwiązania dokładnie to samo zadanie, lecz trochę więcej przykładów.a) '57'+'02
b) '03'+'03'
c) 'FF'+'0F'
Spróbowałam to już rozwiązać, czytając Wikipedię i oglądając parę (trochę na inny temat) filmów.
Oto moje wyniki:
a) 001010101, \(\displaystyle{ x^{6}+x^{4}+x^{2}+1}\)
b) 0
c) 11110000, \(\displaystyle{ x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}}\)
Czy to są prawidłowe odpowiedzi, czy jednak nadal czegoś nie rozumiem i nie biorę pod uwagę?