Dzielnik normalny grupy
-
- Użytkownik
- Posty: 69
- Rejestracja: 17 paź 2008, o 09:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
Dzielnik normalny grupy
Wskazać wszystkie dzielniki normalne grupy \(\displaystyle{ Z _{5}}\) gdzie \(\displaystyle{ Z _{5}}\) to zbiór z dodawaniem modulo 5 , który jest grupą.
-
- Użytkownik
- Posty: 1267
- Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Malbork
- Podziękował: 419 razy
- Pomógł: 114 razy
Dzielnik normalny grupy
Chyba powinno być tak:
grupa \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) ma tylko dwie podgrupy: \(\displaystyle{ \{0\},\mathbb{Z}_5}\)
żeby coś było dzielnikiem normalnym musi zajść warunek \(\displaystyle{ ghg^{-1}\in H}\), gdzie \(\displaystyle{ g\in G, h\in H}\)
no to \(\displaystyle{ G=\{0,1,2,3,4\},H=\{0\}}\)
\(\displaystyle{ 0 \cdot 0 \cdot 0^{-1}\notin H}\) bo nie ma takiego czegoś jak \(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\)
\(\displaystyle{ 1 \cdot 0 \cdot 1^{-1}\in H \\
2 \cdot 0 \cdot 2^{-1}\in H \\
...}\)
to samo wychodzi dla \(\displaystyle{ H=\{0,1,2,3,4\}}\)
zamiast \(\displaystyle{ 0}\) jako środkową liczbe podstawia się po kolei \(\displaystyle{ 1,2,3,4}\)
Wychodzi na to, że \(\displaystyle{ \{0\}}\) ani \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) nie są podgrupami normalnymi, bo są elementy które nie spełniają tamtego warunku.
grupa \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) ma tylko dwie podgrupy: \(\displaystyle{ \{0\},\mathbb{Z}_5}\)
żeby coś było dzielnikiem normalnym musi zajść warunek \(\displaystyle{ ghg^{-1}\in H}\), gdzie \(\displaystyle{ g\in G, h\in H}\)
no to \(\displaystyle{ G=\{0,1,2,3,4\},H=\{0\}}\)
\(\displaystyle{ 0 \cdot 0 \cdot 0^{-1}\notin H}\) bo nie ma takiego czegoś jak \(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\)
\(\displaystyle{ 1 \cdot 0 \cdot 1^{-1}\in H \\
2 \cdot 0 \cdot 2^{-1}\in H \\
...}\)
to samo wychodzi dla \(\displaystyle{ H=\{0,1,2,3,4\}}\)
zamiast \(\displaystyle{ 0}\) jako środkową liczbe podstawia się po kolei \(\displaystyle{ 1,2,3,4}\)
Wychodzi na to, że \(\displaystyle{ \{0\}}\) ani \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) nie są podgrupami normalnymi, bo są elementy które nie spełniają tamtego warunku.
- Vardamir
- Użytkownik
- Posty: 1913
- Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 410 razy
Dzielnik normalny grupy
Do tego momentu ok. Ale odnośnie \(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\), gdzie takie coś się pojawia? \(\displaystyle{ 0^{-1}}\) to element przeciwny do elementu \(\displaystyle{ 0}\), który swoją drogą jest elementem neutralnym. Działaniem określonym tutaj jest dodawanie.Kanodelo pisze:Chyba powinno być tak:
grupa \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) ma tylko dwie podgrupy: \(\displaystyle{ \{0\},\mathbb{Z}_5}\)
żeby coś było dzielnikiem normalnym musi zajść warunek \(\displaystyle{ ghg^{-1}\in H}\), gdzie \(\displaystyle{ g\in G, h\in H}\)
Odnośnie zadania, masz już podane podgrupy \(\displaystyle{ \ZZ_{5}}\). Podgrupa będzie dzielnikiem normalnym, gdy zbiory warstw lewo i prawostronnych przez nią wyznaczanych będą równe.
Obie podgrupy są trywialne, zastanów się jak będą wyglądać warstwy.
-
- Użytkownik
- Posty: 1267
- Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Malbork
- Podziękował: 419 razy
- Pomógł: 114 razy
Dzielnik normalny grupy
Z tym elementem neutralnym to masz racje. Chyba za długo nad tym siedzę, bo im bliżej koła tym wypisuję większe głupoty Działaniem jest dodawanie modulo i jeżeli \(\displaystyle{ G=H=\{0,1,2,3,4\}}\), to warstwy będą wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c} \text{prawostronne} & \text{lewostronne} \\ \hline 0+_5 H=\{0,1,2,3,4\} & H+_5 0=\{0,1,2,3,4\} \\ 1+_5 H=\{1,2,3,4,0\} & H+_5 1=\{1,2,3,4,0\} \\ 2+_5 H=\{2,3,4,0,1\} & H+_5 2 =\{2,3,4,0,1\} \\ 3+_5 H=\{3,4,0,1,2\} & H+_5 3=\{3,4,5,0,1\} \\ H+_5 4=\{4,0,1,2,3\} & 4+_5 H=\{4,0,1,2,3\}\end{tabular}}\)
A jeżeli \(\displaystyle{ G=\{0,1,2,3,4\},H=\{0\}}\) to:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c}\text{prawostronne} & \text{lewostronne} \\ \hline 0+_5 H=\{0\} & H+_5 0=\{0\} \\ 1+_5 H=\{1\} & H+_5 1=\{1\} \\ 2+_5 H=\{2\} & H+_5 2=\{2\} \\ 3+_5 H=\{3\} & H+_5 3=\{3\} \\ 4+_5 H=\{4\} & H+_5 4=\{4\}\end{tabular}}\)
Oczywiście warstwy są równe więc podgrupy \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) i \(\displaystyle{ \{0\}}\) są podgrupami normalnymi.
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c} \text{prawostronne} & \text{lewostronne} \\ \hline 0+_5 H=\{0,1,2,3,4\} & H+_5 0=\{0,1,2,3,4\} \\ 1+_5 H=\{1,2,3,4,0\} & H+_5 1=\{1,2,3,4,0\} \\ 2+_5 H=\{2,3,4,0,1\} & H+_5 2 =\{2,3,4,0,1\} \\ 3+_5 H=\{3,4,0,1,2\} & H+_5 3=\{3,4,5,0,1\} \\ H+_5 4=\{4,0,1,2,3\} & 4+_5 H=\{4,0,1,2,3\}\end{tabular}}\)
A jeżeli \(\displaystyle{ G=\{0,1,2,3,4\},H=\{0\}}\) to:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c}\text{prawostronne} & \text{lewostronne} \\ \hline 0+_5 H=\{0\} & H+_5 0=\{0\} \\ 1+_5 H=\{1\} & H+_5 1=\{1\} \\ 2+_5 H=\{2\} & H+_5 2=\{2\} \\ 3+_5 H=\{3\} & H+_5 3=\{3\} \\ 4+_5 H=\{4\} & H+_5 4=\{4\}\end{tabular}}\)
Oczywiście warstwy są równe więc podgrupy \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) i \(\displaystyle{ \{0\}}\) są podgrupami normalnymi.
- Vardamir
- Użytkownik
- Posty: 1913
- Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 410 razy
Dzielnik normalny grupy
Zgadza się. Warto sobie to przeliczyć i sprawdzić, ale na przyszłość zapamiętać, że podgrupy trywialne zawsze są dzielnikami normalnymi. Nazywa się je trywialnymi dzielnikami normalnymi.Kanodelo pisze: Oczywiście warstwy są równe więc podgrupy \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) i \(\displaystyle{ \{0\}}\) są podgrupami normalnymi.
- leszczu450
- Użytkownik
- Posty: 4414
- Rejestracja: 10 paź 2012, o 23:20
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Toruń
- Podziękował: 1589 razy
- Pomógł: 364 razy
Dzielnik normalny grupy
Trochę odkopie temat. Dla tych, którzy nie wiedzą dlaczego każda podgrupa grupy abelowej jest dzielnikiem normalnym.
FAKT:
Każda podgrupa grupy abelowej \(\displaystyle{ G}\) jest dzielnikiem normalnym.
DOWÓD:
Weźmy dowolną podgrupe \(\displaystyle{ H}\) grupy \(\displaystyle{ G}\). W dowodzie istotny jest fakt, że elemnty podgrupy są w szczególności elementami grupy. Zatem rozważmy wyrażenie
\(\displaystyle{ ghg^{-1}}\) , gdzie \(\displaystyle{ g \in G , h \in H}\)
\(\displaystyle{ ghg^{-1}=gg^{-1}h=eh=h \in H}\) dla każdego \(\displaystyle{ h \in H}\).
Co kończy dowód. Gdyż biorąc dolony element podgrupy \(\displaystyle{ H}\) i robiąc z nim to co wyżej, nadal siedzimy w podgrupie \(\displaystyle{ H}\). \(\displaystyle{ \square}\)
FAKT:
Każda podgrupa grupy abelowej \(\displaystyle{ G}\) jest dzielnikiem normalnym.
DOWÓD:
Weźmy dowolną podgrupe \(\displaystyle{ H}\) grupy \(\displaystyle{ G}\). W dowodzie istotny jest fakt, że elemnty podgrupy są w szczególności elementami grupy. Zatem rozważmy wyrażenie
\(\displaystyle{ ghg^{-1}}\) , gdzie \(\displaystyle{ g \in G , h \in H}\)
\(\displaystyle{ ghg^{-1}=gg^{-1}h=eh=h \in H}\) dla każdego \(\displaystyle{ h \in H}\).
Co kończy dowód. Gdyż biorąc dolony element podgrupy \(\displaystyle{ H}\) i robiąc z nim to co wyżej, nadal siedzimy w podgrupie \(\displaystyle{ H}\). \(\displaystyle{ \square}\)