Dzielnik normalny grupy

[piotrek2008]

Wskazać wszystkie dzielniki normalne grupy \(\displaystyle{ Z _{5}}\) gdzie \(\displaystyle{ Z _{5}}\) to zbiór z dodawaniem modulo 5 , który jest grupą.

[Zordon]

Po pierwsze, zastanów się jakie podgrupy ma ta grupa... Skorzystaj z Tw. Lagrange'a

[Kanodelo]

Chyba powinno być tak:
grupa \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) ma tylko dwie podgrupy: \(\displaystyle{ \{0\},\mathbb{Z}_5}\)
żeby coś było dzielnikiem normalnym musi zajść warunek \(\displaystyle{ ghg^{-1}\in H}\), gdzie \(\displaystyle{ g\in G, h\in H}\)

no to \(\displaystyle{ G=\{0,1,2,3,4\},H=\{0\}}\)
\(\displaystyle{ 0 \cdot 0 \cdot 0^{-1}\notin H}\) bo nie ma takiego czegoś jak \(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\)
\(\displaystyle{ 1 \cdot 0 \cdot 1^{-1}\in H \\
2 \cdot 0 \cdot 2^{-1}\in H \\
...}\)
to samo wychodzi dla \(\displaystyle{ H=\{0,1,2,3,4\}}\)
zamiast \(\displaystyle{ 0}\) jako środkową liczbe podstawia się po kolei \(\displaystyle{ 1,2,3,4}\)
Wychodzi na to, że \(\displaystyle{ \{0\}}\) ani \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) nie są podgrupami normalnymi, bo są elementy które nie spełniają tamtego warunku.

[Vardamir]

Chyba powinno być tak:
grupa \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) ma tylko dwie podgrupy: \(\displaystyle{ \{0\},\mathbb{Z}_5}\)
żeby coś było dzielnikiem normalnym musi zajść warunek \(\displaystyle{ ghg^{-1}\in H}\), gdzie \(\displaystyle{ g\in G, h\in H}\)

Do tego momentu ok. Ale odnośnie \(\displaystyle{ \frac{1}{0}}\), gdzie takie coś się pojawia? \(\displaystyle{ 0^{-1}}\) to element przeciwny do elementu \(\displaystyle{ 0}\), który swoją drogą jest elementem neutralnym. Działaniem określonym tutaj jest dodawanie.

Odnośnie zadania, masz już podane podgrupy \(\displaystyle{ \ZZ_{5}}\). Podgrupa będzie dzielnikiem normalnym, gdy zbiory warstw lewo i prawostronnych przez nią wyznaczanych będą równe.

Obie podgrupy są trywialne, zastanów się jak będą wyglądać warstwy.

[Kanodelo]

Z tym elementem neutralnym to masz racje. Chyba za długo nad tym siedzę, bo im bliżej koła tym wypisuję większe głupoty Działaniem jest dodawanie modulo i jeżeli \(\displaystyle{ G=H=\{0,1,2,3,4\}}\), to warstwy będą wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c} \text{prawostronne} & \text{lewostronne} \\ \hline 0+_5 H=\{0,1,2,3,4\} & H+_5 0=\{0,1,2,3,4\} \\ 1+_5 H=\{1,2,3,4,0\} & H+_5 1=\{1,2,3,4,0\} \\ 2+_5 H=\{2,3,4,0,1\} & H+_5 2 =\{2,3,4,0,1\} \\ 3+_5 H=\{3,4,0,1,2\} & H+_5 3=\{3,4,5,0,1\} \\ H+_5 4=\{4,0,1,2,3\} & 4+_5 H=\{4,0,1,2,3\}\end{tabular}}\)
A jeżeli \(\displaystyle{ G=\{0,1,2,3,4\},H=\{0\}}\) to:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c}\text{prawostronne} & \text{lewostronne} \\ \hline 0+_5 H=\{0\} & H+_5 0=\{0\} \\ 1+_5 H=\{1\} & H+_5 1=\{1\} \\ 2+_5 H=\{2\} & H+_5 2=\{2\} \\ 3+_5 H=\{3\} & H+_5 3=\{3\} \\ 4+_5 H=\{4\} & H+_5 4=\{4\}\end{tabular}}\)
Oczywiście warstwy są równe więc podgrupy \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) i \(\displaystyle{ \{0\}}\) są podgrupami normalnymi.

[Vardamir]

Oczywiście warstwy są równe więc podgrupy \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_5}\) i \(\displaystyle{ \{0\}}\) są podgrupami normalnymi.

Zgadza się. Warto sobie to przeliczyć i sprawdzić, ale na przyszłość zapamiętać, że podgrupy trywialne zawsze są dzielnikami normalnymi. Nazywa się je trywialnymi dzielnikami normalnymi.

[Lorek]

Jak również warto zapamiętać, że w grupie abelowej wszystkie podgrupy są normalne.

[leszczu450]

Trochę odkopie temat. Dla tych, którzy nie wiedzą dlaczego każda podgrupa grupy abelowej jest dzielnikiem normalnym.

FAKT:

Każda podgrupa grupy abelowej \(\displaystyle{ G}\) jest dzielnikiem normalnym.

DOWÓD:

Weźmy dowolną podgrupe \(\displaystyle{ H}\) grupy \(\displaystyle{ G}\). W dowodzie istotny jest fakt, że elemnty podgrupy są w szczególności elementami grupy. Zatem rozważmy wyrażenie

\(\displaystyle{ ghg^{-1}}\) , gdzie \(\displaystyle{ g \in G , h \in H}\)

\(\displaystyle{ ghg^{-1}=gg^{-1}h=eh=h \in H}\) dla każdego \(\displaystyle{ h \in H}\).

Co kończy dowód. Gdyż biorąc dolony element podgrupy \(\displaystyle{ H}\) i robiąc z nim to co wyżej, nadal siedzimy w podgrupie \(\displaystyle{ H}\). \(\displaystyle{ \square}\)