liczba działań w zbiorze

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
fla
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 27 lip 2008, o 23:34
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: wroclaw

liczba działań w zbiorze

Post autor: fla »

to chyba bardziej z kombinatoryki...

a) jaka jest liczba działań przemiennych w zbiorze n-elementowym?
b) jaka jest liczba działań w zbiorze z elementem neutralnym?
c) jaka jest liczba działań przemiennych w zbiorze z elementem neutralnym?

znam odpowiedzi, ale ich nie rozumiem. Nie umiem sobie tego wyobrazić, wiec proszę o odpowiedz z wytłumaczeniem.
Awatar użytkownika
max
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

liczba działań w zbiorze

Post autor: max »

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem \(\displaystyle{ n}\)-elementowym.
a) Chcemy wyznaczyć liczbę odwzorowań \(\displaystyle{ f:X\times X \to X}\) takich, że \(\displaystyle{ f(x, y) = f(y, x).}\) Zatem jeśli mamy parę nieuporządkowaną \(\displaystyle{ \{x, y\}\subset X}\) (dopuszczając \(\displaystyle{ x = y}\)) i określimy wartość \(\displaystyle{ f(x,y),}\) to mamy również określoną wartość \(\displaystyle{ f(y,x).}\)
Zatem funkcji takich będzie tyle ile funkcji ze zbioru wszystkich par nieuporządkowanych w zbiór \(\displaystyle{ X,}\) czyli \(\displaystyle{ n^{{{n+1}\choose 2}}.}\)
b) Szukamy liczby \(\displaystyle{ f:X\times X \to X,}\) takich, że dla wszystkich \(\displaystyle{ x\in X}\) jest \(\displaystyle{ f(x, e) = x = f(e, x),}\) gdzie \(\displaystyle{ e\in X}\) to pewien wyróżniony element neutralny. Element \(\displaystyle{ e}\) możemy wybrać dowolnie, na \(\displaystyle{ n}\) sposobów, dalej dowolnie ustalamy wartości w punktach \(\displaystyle{ (x,y),}\) gdzie \(\displaystyle{ x, y \in X\setminus \{e\}}\) i możemy to zrobić na \(\displaystyle{ n^{(n - 1)^{2}}}\) sposobów. Korzystając z tego, że może istnieć tylko jeden element neutralny ustalonego działania dostajemy, że wszystkich takich działań jest \(\displaystyle{ n^{1 + (n-1)^{2}}.}\)
c) Podobnie jak wyżej i korzystając z rozumowania a), najpierw możemy na \(\displaystyle{ n}\) sposobów wybrać element neutralny, a następnie ustalamy wartości na parach nieuporządkowanych nie zawierających tego elementu - to możemy zrobić na \(\displaystyle{ n^{{n\choose 2}}}\) sposobów. Ostatecznie dostajemy \(\displaystyle{ n^{1 + {n\choose 2}}}\) takich działań.
Kanodelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1267
Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Malbork
Podziękował: 419 razy
Pomógł: 114 razy

liczba działań w zbiorze

Post autor: Kanodelo »

Dlaczego w a) tych par nieuporządkowanych jest \(\displaystyle{ {n+1 \choose 2}}\)? Przecież z \(\displaystyle{ n}\)liczb mamy wylosować dwie, więc nie powinno być \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\)?
Podobnie w b) nie mam pojęcia skąd sie bierze \(\displaystyle{ n^{(n-1)^2}}\)...
Awatar użytkownika
Vardamir
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1913
Rejestracja: 3 wrz 2010, o 22:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 410 razy

liczba działań w zbiorze

Post autor: Vardamir »

Kanodelo pisze:Dlaczego w a) tych par nieuporządkowanych jest \(\displaystyle{ {n+1 \choose 2}}\)? Przecież z \(\displaystyle{ n}\)liczb mamy wylosować dwie, więc nie powinno być \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\)?
Trzeba jeszcze uwzględnić sutuację \(\displaystyle{ x=y}\), stąd ta jedynka.
Kanodelo pisze: Podobnie w b) nie mam pojęcia skąd sie bierze \(\displaystyle{ n^{(n-1)^2}}\)...
Element \(\displaystyle{ e}\) wybieramy na \(\displaystyle{ n}\) sposobów. Natomiast potęga to ilość możliwych przyporządkowań wartości \(\displaystyle{ f(x,y)}\), jednak nie uwzględniamy tu elementu neutralnego, więc \(\displaystyle{ (n-1)\cdot (n-1)}\)
Kanodelo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1267
Rejestracja: 1 kwie 2011, o 11:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Malbork
Podziękował: 419 razy
Pomógł: 114 razy

liczba działań w zbiorze

Post autor: Kanodelo »

Vardamir dzięki za odpowiedź, już wiem o co chodzi
ODPOWIEDZ