Category theory

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
aolo23
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 308
Rejestracja: 5 sty 2016, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 118 razy
Pomógł: 2 razy

Category theory

Post autor: aolo23 » 16 sty 2022, o 14:03

Let \(\displaystyle{ (G, \cdot)}\) be a group. Describe it as a category \(\displaystyle{ C}\) with \(\displaystyle{ Obj(C) = \{G\}}\) (one object) and the set of arrows \(\displaystyle{ Arr(C) = G}\). In particular determine how the composition works and what is the identity arrow.

Potrzebuje zrozumienia owego zadania.
Porsze mine poprawić jeśli źle rozumuję. Grupa sama w sobie może posiadac wiele elementów np \(\displaystyle{ (\NN, 1, \cdot )}\).
Ale kategorię traktujemy jako coś bardziej ogólego. Z informatycznego punktu widzenia taki typ generyczny(?).

"how the composition works" - skoro mamy jeden element to wszystkie strzałki są zdefiniowane jako \(\displaystyle{ f : G \rightarrow G }\)
więc kompozycja nic nie zmieni.

"what is the identity arrow" - nie wiem jak ją opisać. Jak dla mnie na diagramie jest to pukt z pętlą.
Ostatnio zmieniony 16 sty 2022, o 14:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Flype
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 21 sty 2022, o 23:04
Płeć: Mężczyzna
wiek: 27
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 6 razy

Re: Category theory

Post autor: Flype » 21 sty 2022, o 23:15

Musisz sprawdzić, czy \(\displaystyle{ C}\) spełnia aksjomaty kategorii (spełnia): że składanie strzałek jest łączne i że istnieje „identity arrow”, czyli strzałka, która złożona z inną strzałką nie zmienia tej drugiej. Tę strzałkę można na przykład wskazać paluchem.

Formalnie:
- dla każdych trzech strzałek \(\displaystyle{ f \colon a \to b, g \colon b \to c, h \colon c \to d}\) zachodzi \(\displaystyle{ (hg)f = h(gf)}\)
- dla każdego obiektu (my mamy tylko jeden) \(\displaystyle{ x}\) istnieje strzałka \(\displaystyle{ 1_x}\) taka, że dla każdych dwóch strzałek \(\displaystyle{ f \colon x \to y}\) oraz \(\displaystyle{ g \colon z \to x}\) zachodzi \(\displaystyle{ 1_x g = g}\) oraz \(\displaystyle{ f 1_x = f}\).

ODPOWIEDZ