Pierścienie i ich grupy

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
nice1233
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 7 lis 2015, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Pierścienie i ich grupy

Post autor: nice1233 »

Treść zadania:
Wskazać (pokazać) taki podpierścień pierścienia \(\displaystyle{ P[x]}\), który zawiera P i jest różny od P, ale nie jest izomorficzny z \(\displaystyle{ \mathrm{} P[x]}\).

Moje próby rozwiązania:
Szukałem tego przykładu w R.

Zatem struktura zawierania tych pierścieni to:
Główny R[x] (zawiera S[x], R)
Podpierścień S[x] (zawiera R)
R - pierścień współczynników z R[x]

zatem wybrałem \(\displaystyle{ S[x] = \sum\limits_{n=0}^{\infty }{{{a}_{2n}}{{x}^{2n}}} }\)

Ale wtedy nie wiem jak sprawdzić czy ten pierścień jest izomorficzny czy też nie.
Możliwe że ten przykład jest zły.

Jeśli ktoś ma pomysł na szkic rozw. Śmiało bym przeczytał. Z góry dziekuje.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Pierścienie i ich grupy

Post autor: Dasio11 »

Jeśli za \(\displaystyle{ P}\) wolno przyjąć dowolny pierścień, to warunki spełnia na przykład \(\displaystyle{ \RR[x^2, x^3]}\) jako podpierścień \(\displaystyle{ \RR[x]}\).

Natomiast pierścień \(\displaystyle{ \RR[x^2]}\) ich nie spełnia (o ile dobrze rozumiem Twój - notabene niepoprawny - zapis \(\displaystyle{ S[x] = \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n} x^{2n}}\)), bo przypisanie wielomianowi \(\displaystyle{ w \in \RR[x]}\) elementu \(\displaystyle{ w(x^2) \in \RR[x^2]}\) jest izomorfizmem \(\displaystyle{ \RR[x] \to \RR[x^2]}\).
nice1233
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 7 lis 2015, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz

Re: Pierścienie i ich grupy

Post autor: nice1233 »

Dasio11 pisze: 12 lip 2021, o 10:44 Jeśli za \(\displaystyle{ P}\) wolno przyjąć dowolny pierścień, to warunki spełnia na przykład \(\displaystyle{ \RR[x^2, x^3]}\) jako podpierścień \(\displaystyle{ \RR[x]}\).

Natomiast pierścień \(\displaystyle{ \RR[x^2]}\) ich nie spełnia (o ile dobrze rozumiem Twój - notabene niepoprawny - zapis \(\displaystyle{ S[x] = \sum_{n=0}^{\infty} a_{2n} x^{2n}}\)), bo przypisanie wielomianowi \(\displaystyle{ w \in \RR[x]}\) elementu \(\displaystyle{ w(x^2) \in \RR[x^2]}\) jest izomorfizmem \(\displaystyle{ \RR[x] \to \RR[x^2]}\).
Nie wiem czy dobrze pokazałem tą izomorficzność. Jak byś mógł spojrzeć. Dzięki.


Zauważyłem, że
\[\begin{align}
& R\left[ x,y \right]=\left\{ \sum\limits_{i,j}{{{c}_{ij}}{{x}^{i}}{{y}^{j}}}\left| {{c}_{ij}}\in \mathbb{R} \right. \right\} \\
& \text{zatem} \\
& \left\{ \sum\limits_{i,j}{{{c}_{ij}}}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{i}}{{\left( {{x}^{3}} \right)}^{j}}\mid {{c}_{ij}}\in \mathbb{R} \right\} \\
& \left\{ \sum\limits_{i,j}{{{c}_{ij}}}\left( {{x}^{2i}} \right)\left( {{x}^{3j}} \right)\mid {{c}_{ij}}\in \mathbb{R} \right\} \\
& \left\{ \sum\limits_{i,j}{{{c}_{ij}}}{{x}^{2i+3j}}\mid {{c}_{ij}}\in \mathbb{R} \right\} \\
\end{align}\]
Niech l = 2i + 3j
\[R[x]=\left\{ \sum\limits_{l}{{{c}_{l}}{{x}^{l}}}|\,{{c}_{l}}\in \mathbb{R} \right\}\text{.}\]
Zatem:
\[R\left[ {{x}^{2}},{{x}^{3}} \right]\subset R\left[ x \right]\]
Zauważam, że każdy wielomian (W) z \[R\left[ {{x}^{2}},\,\,{{x}^{3}} \right]\] (deg W > 0) ma najmniejszy możliwy stopień \(\displaystyle{ x^{2}}\) lub \(\displaystyle{ x^{3}}\).
w szczególności, gdy
i = 0, najmniejszy stopień jest 3 i gdy
j = 0, najmniejszy stopień jest 2
Ale najmniejszy stopień wielomianu w \(\displaystyle{ R[x]}\) wynosi 1. Który nie jest reprezentowany w \(\displaystyle{ R[{{x}^{2}},{{x}^{3}}\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}\).
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Pierścienie i ich grupy

Post autor: Dasio11 »

To dowodzi że \(\displaystyle{ R[x^2, x^3] \neq R[x]}\), a nie tego, że nie są izomorficzne.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: Pierścienie i ich grupy

Post autor: arek1357 »

Czyżby \(\displaystyle{ i, j>0}\) ?

Takiego ograniczenie nie ma w \(\displaystyle{ P[x]}\).
Ostatnio zmieniony 16 lip 2021, o 00:19 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
ODPOWIEDZ