Pierścień i nilradykał
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 27 kwie 2020, o 17:45
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 20
- Podziękował: 2 razy
Pierścień i nilradykał
Niech \(\displaystyle{ R}\) będzie pierscieniem, a \(\displaystyle{ N}\) jego nilradykałem. Jak założenia, że \(\displaystyle{ R}\) zawiera dokładnie jeden element ideał pierwszy wynika, że dowolny element pierścienia jest odwracalny albo niltpotentny?
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Pierścień i nilradykał
Zakładam, że to pierścień przemienny z jedynką jest...
Poza tym składniowo treść zadania jest mało spójna skierowana bardziej na domysły niż na meritum...
Nilradykał jest częścią wspólną wszystkich ideałów pierwszych.
Jeżeli w pierścieniu jest tylko jeden właściwy ideał musi on być Nilradykałem i jednocześnie ideałem pierwszym.
Jeżeli:
\(\displaystyle{ a^n=0=a \cdot a^{n-1} \in N=P \Rightarrow a \vee a^{n-1} \in N}\)
Jeżeli jakiś element nie byłby nilpotentny oraz nie byłby odwracalny czyli:
\(\displaystyle{ x \in R \setminus P}\)
W związku z tym , że w tym pierścieniu jest tylko jeden ideał właściwy=P
to:
\(\displaystyle{ (x)=R}\)
czyli istnieje takie y, że:
\(\displaystyle{ xy=1}\) - sprzeczność...
Poza tym składniowo treść zadania jest mało spójna skierowana bardziej na domysły niż na meritum...
Nilradykał jest częścią wspólną wszystkich ideałów pierwszych.
Jeżeli w pierścieniu jest tylko jeden właściwy ideał musi on być Nilradykałem i jednocześnie ideałem pierwszym.
Jeżeli:
\(\displaystyle{ a^n=0=a \cdot a^{n-1} \in N=P \Rightarrow a \vee a^{n-1} \in N}\)
Jeżeli jakiś element nie byłby nilpotentny oraz nie byłby odwracalny czyli:
\(\displaystyle{ x \in R \setminus P}\)
W związku z tym , że w tym pierścieniu jest tylko jeden ideał właściwy=P
to:
\(\displaystyle{ (x)=R}\)
czyli istnieje takie y, że:
\(\displaystyle{ xy=1}\) - sprzeczność...
- karolex123
- Użytkownik
- Posty: 751
- Rejestracja: 22 gru 2012, o 11:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: somewhere
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 127 razy
Re: Pierścień i nilradykał
W zadaniu mamy chyba założenie, że w pierścieniu jest tylko jeden ideał pierwszy, a nie że jest tylko jeden ideał właściwy?
Ogólnie nie jest prawdą, że jeśli pierścień ma dokładnie jeden ideał pierwszy, to ma dokładnie jeden ideał właściwy.
Rozumowanie tak czy owak się nie zmienia, bo jeśli pierścień ma jeden ideał pierwszy, to jest lokalny i każdy element nieodwracalny zawarty jest w nilradykale, a więc jest nilpotentny.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5749
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
Re: Pierścień i nilradykał
Tak założenia w zadaniu są mocno niejasne...W zadaniu mamy chyba założenie, że w pierścieniu jest tylko jeden ideał pierwszy, a nie że jest tylko jeden ideał właściwy?