Podciało

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
pasjonat_matematyki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 3 wrz 2019, o 12:30
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 7 razy

Podciało

Post autor: pasjonat_matematyki » 3 wrz 2020, o 12:44

Dzień dobry

Czy mógłbym prosić o wyjaśnienie wątpliwości w związku z poniższym dowodem?

Jeśli podzbiór\(\displaystyle{ A }\) ciała \(\displaystyle{ K}\) zawiera elementy \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) oraz jest zamknięty ze względu na działania dodawania i mnożenia, to podzbiór ten z działaniami dodawania i mnożenia (ciała \(\displaystyle{ K}\) zredukowanymi do podzbioru \(\displaystyle{ A}\)) i z wyróżnionymi elementami \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) jest systemem algebraicznym i jeśli system ten jest ciałem , to podzbiór \(\displaystyle{ A}\) jest podciałem ciała \(\displaystyle{ K}\).
Istotnie, jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem , to dla dowolnego elementu \(\displaystyle{ a \in A}\) istnieje w systemie \(\displaystyle{ A}\) taki element \(\displaystyle{ b}\), że \(\displaystyle{ a+b=0}\). Ponieważ suma elementów \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) w systemie \(\displaystyle{ A}\) jest równa sumie tych elementów w ciele \(\displaystyle{ K}\) , a element zerowy systemu \(\displaystyle{ A}\) jest elementem zerowym ciała \(\displaystyle{ K}\) , więc element \(\displaystyle{ b}\) jest przeciwny do elementu \(\displaystyle{ a}\) w ciele \(\displaystyle{ K}\). Wobec tego dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A}\) element \(\displaystyle{ -a}\) też należy do \(\displaystyle{ A}\). Ponieważ ponadto podzbiór \(\displaystyle{ A }\) jest zamknięty ze względu na dodawanie , więc dla \(\displaystyle{ a,b \in A}\) mamy \(\displaystyle{ b-a = b+(-a) \in A}\). Wobec tego zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zamknięty ze względu na odejmowanie. Podobnie dowodzi się, że dla dowolnych elementow \(\displaystyle{ a,b \in A}\), \(\displaystyle{ a \neq 0}\), element \(\displaystyle{ b/a}\) też należy do \(\displaystyle{ A}\). Podzbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zatem podciałem ciała \(\displaystyle{ K}\). (Źródło: Algebra, A. Białynicki-Birula).

No właśnie. Po co te całe rozważania o elemencie przeciwnym w \(\displaystyle{ A}\)? Jeśli zalożymy, że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem, to na pewno ma element przeciwny i na pewno zarówno dodawanie, mnożenie, odejmowanie i dzielenie przez niezerowy element są wykonalne w tym ciele.
Albo weźmy to zdanie: "Wobec tego dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A}\) element \(\displaystyle{ -a}\) też należy do \(\displaystyle{ A}\)."
Tak to jest sformułowane, jakby fakt, że \(\displaystyle{ -a}\) też należy do \(\displaystyle{ A}\) wynikał z czegoś innego niż po prostu z faktu, że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem.

Z góry dziękuję i pozdrawiam
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1877
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 268 razy

Re: Podciało

Post autor: matmatmm » 14 wrz 2020, o 15:45

pasjonat_matematyki pisze:
3 wrz 2020, o 12:44
No właśnie. Po co te całe rozważania o elemencie przeciwnym w \(\displaystyle{ A}\)? Jeśli zalożymy, że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem, to na pewno ma element przeciwny i na pewno zarówno dodawanie, mnożenie, odejmowanie i dzielenie przez niezerowy element są wykonalne w tym ciele.
My nie zakładamy, że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem, tylko dowodzimy, że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem pod założeniem, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zamknięty na działania.
Albo weźmy to zdanie: "Wobec tego dla dowolnego \(\displaystyle{ a \in A}\) element \(\displaystyle{ -a}\) też należy do \(\displaystyle{ A}\)."
Tak to jest sformułowane, jakby fakt, że \(\displaystyle{ -a}\) też należy do \(\displaystyle{ A}\) wynikał z czegoś innego niż po prostu z faktu, że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem.
Jak wyżej. Nie zakładamy, że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9226
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1999 razy

Re: Podciało

Post autor: Dasio11 » 14 wrz 2020, o 17:11

matmatmm pisze:
14 wrz 2020, o 15:45
Nie zakładamy, że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem.
Owszem, zakładamy:
pasjonat_matematyki pisze:
3 wrz 2020, o 12:44
Jeśli podzbiór\(\displaystyle{ A }\) ciała \(\displaystyle{ K}\) zawiera elementy \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) oraz jest zamknięty ze względu na działania dodawania i mnożenia, to podzbiór ten z działaniami dodawania i mnożenia (ciała \(\displaystyle{ K}\) zredukowanymi do podzbioru \(\displaystyle{ A}\)) i z wyróżnionymi elementami \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) jest systemem algebraicznym i jeśli system ten jest ciałem, to podzbiór \(\displaystyle{ A}\) jest podciałem ciała \(\displaystyle{ K}\).

A problem wziął się z oznaczania dwóch różnych operacji jednym symbolem „\(\displaystyle{ -}\)” (co jest w algebrze standardowe i na ogół nieszkodliwe). Z założenia że \(\displaystyle{ A}\) jest ciałem wynika tylko tyle, że każdy element tego zbioru ma w nim element przeciwny liczony w systemie \(\displaystyle{ A}\). Dowód natomiast dotyczy faktu, że każdy element \(\displaystyle{ A}\) ma w \(\displaystyle{ A}\) element przeciwny liczony w ciele \(\displaystyle{ K}\).

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1877
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 268 razy

Re: Podciało

Post autor: matmatmm » 14 wrz 2020, o 17:50

No tak. Zbyt pobieżnie to przeczytałem.

Najwidoczniej autor przyjmuje jakąś inną definicję podciała niż ta, która jest dla mnie najbardziej naturalna: Podzbiór \(\displaystyle{ A}\) ciała \(\displaystyle{ K}\) wyznacza podciało, gdy wraz z działaniami dziedziczonymi jest ciałem.

ODPOWIEDZ