Matematyka.pl

Błagam o pomoc! Kurcze ja już nie wiem co zrobić. Nawet nie wiem jak zacząć :/ Co to znaczy, że mam zbadać ciągłość funkcji? Najpierw zgadnąć w jakich punktach jest ciągła i potem udowodnić?!
Proszę zatem o pomoc w rozwiązaniu tych zadań:

2. \(\displaystyle{ f(x) = \lim_{ n \to } \frac{ln(e^{n} + x^{n})}{n}, x qslant 0}\)

4. \(\displaystyle{ f(x) = \lim_{ n \to } \sqrt[n]{3x^{-2n} + 7^{n}}, x 0}\)
5. \(\displaystyle{ f(x) = 5 - x^{2}}\) jeśli x jest liczbą wymierną
\(\displaystyle{ f(x) = 1}\) w pozostałych przypadkach

Najpierw musisz "zgadnąć" w jakich punktach funkcja NIE JEST ciągła. Jak powiedzmy masz wątpliwości co do punktu x = a, to liczysz granicę \(\displaystyle{ \lim_{x \to a^{+}}f(x)}\) oraz lewostronną \(\displaystyle{ \lim_{x \to a^{-}} f(x)}\)

Jeśli obie granice są sobie równe (i właściwe), to funkcja jest ciągła.

To mógłbyś to pokazać rozwiązując jeden z przykładów?

No na luzie.

W tym pierwszym np. w punkcie x=0 funkcja gwałtownie zmienia monotoniczność. Sprawdzamy


\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}} (x-1)|x| = 0 = \lim_{x \to 0^{-}} (x-1)|x|}\)

Z drugim przykładem jest już trudniej. Najpierw w ogóle trzeba policzyć tą granicę traktując na razie x jako stałą. Można skorzystać z de l'hospitala . W każdym razie dla "dużych" x gralica ta wynosi ln(x) , dla małych x wynosi 1. Punktem spornym może być x=e, bowiem wtedy wyrażenie x/e może dążyć do nieskończoności, minus nieskończoności, albo jeszcze jakoś inaczej. Teraz musisz jakby połączyć dwie granice (ten limes to już po l'hospitalu) :

\(\displaystyle{ \lim_{x \to e} \frac{1 + ln(x) \cdot ( \frac{x}{e})^{ \lim_{n \to \infty}(n)} }{1 + ( \frac{x}{e})^{ \lim_{n \to \infty}(n)}}}\)

No i wg mnie w tej granicy można poprostu podstawić x=e i wtedy zarówno z prawej jak i z lewej strony granica będzie równa 1, czyli funkcja będzie ciągła.

BTW skąd takie dziwne zadania ?

Dzięki wielkie.
Pierwszy przykład to kumpel właśnie mi już wytłumaczył i trzeci też.
Z tym drugim to nie wiem nadal o co chodzi bo nie miałem jeszcze l'hospitala
Te zadania dostałem od mojej szanownej pani do samodzielnego ćwiczenia... same trudne rzeczy :/

Chodzi o to, że jak trudno ci policzyć granicę, to możesz wyrazenie \(\displaystyle{ lim \frac{f}{g}}\) zastąpić takim \(\displaystyle{ lim \frac{f'}{g'}}\)

W tym wypadku trochę to ułatwiło.

Pochodnej też nie miałem Należę do rocznika, którego podstawa programowa w liceum została obcięta :/