granica funkcji

[oluszek7]

Obliczyć granice funkcji:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0+} \left( { \frac{ 2^{x} + 3^{x}}{2}} \right) ^{ \frac{1}{x} } =}\)

[Qń]

Mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0+} \left( { \frac{ 2^{x} + 3^{x}}{2}} \right) ^{ \frac{1}{x} } =
\lim_{ x\to 0+}\left( \left( 1+ \frac{ 2^{x} + 3^{x} - 2}{2}\right)^{\frac{2}{2^x+3^x-2}} \right)^{ \frac{2^x+3^x-2}{2x} }}\)
Największy nawias dąży do \(\displaystyle{ e}\), a ostatni wykładnik z d'Hospitala dąży do \(\displaystyle{ \frac{\ln 2 + \ln 3}{2}}\), stąd odpowiedź to:
\(\displaystyle{ e^{\frac{\ln 2 + \ln 3}{2}}=\sqrt{6}}\)

Q.

[oluszek7]

wydaje mi się że gdyby to było \(\displaystyle{ \lim_{ x\to }}\) to wtedy największy nawias dążyłby do e

[Qń]

wydaje mi się że gdyby to było \(\displaystyle{ \lim_{ x\to \infty }}\) to wtedy największy nawias dążyłby do e

Nie, wtedy dążyłby do jedynki. Teraz to granica typu \(\displaystyle{ \left( 1+ \frac{1}{\textrm{duże coś}}\right)^{\textrm{duże coś}}}\) przy dużymcosiu dążącym do plus nieskończoności.

Q.

[maatyss]

\(\displaystyle{ e^{\frac{\ln 2 + \ln 3}{2}}=\sqrt{6}}\)

Q.

Jak to obliczyć bez kalkulatora?

[oluszek7]

\(\displaystyle{ e^{ \frac{\ln 2+\ln 3}{2} } = e^{ \frac{\ln 6}{2} } = 6^{ \frac{1}{2} } = \sqrt{6}}\)

[maatyss]

Już wyliczyłem... dzięki