Matematyka.pl

Hm, mam problem z pewnymi granicami

a) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to - } e ^{-x^{2}+8x-14} = ?}\)


b) \(\displaystyle{ \lim_{ x\to + } e ^{-x^{2}+8x-14} = ?}\)

Obie wynoszą zero. Trójmian w wykładniku dąży do \(\displaystyle{ - }\) dla obu nieskończoności.

Dla \(\displaystyle{ - }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to - } -x^{2} + 8x -14 = [-(- )^{2} + (- ) - 14 = - - - 14 ] = - }\)


Natomiast dla \(\displaystyle{ + }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to + } -x^{2} + 8x -14 = [-(+ )^{2} + ) - 14 = - + - 14 ] = ?}\)

Wyobraź sobie smutną parabolę i już będziesz wiedział, do czego dążą obie gałęzie .

robal1024 pisze:Wyobraź sobie smutną parabolę i już będziesz wiedział, do czego dążą obie gałęzie .

To ja wiem, dążą do \(\displaystyle{ - }\), jednak muszę to jakoś zapisać ;/

Piszesz, że obie granice są równe \(\displaystyle{ - }\), więc exp z takiej granicy wynosi zero. Wszak:
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to } e ^{-x} = \lim_{ x\to } (\frac{1}{e}) ^{ x }=0}\)

Wiem wiem, tylko ja chcę doprowadzić sam wykładnik dla:

\(\displaystyle{ \lim_{ x\to + } - x^{2} +8x - 14}\) do postaci \(\displaystyle{ - }\)

Zakładając, że nie możemy posłużyć się wykresem, rozwiązując to poprzez odpowiednie przekształcenia

Hm, nigdy tego jakoś szczególnie nie zapisywałem i nikt mi nie kazał nigdy dowodzić, że tak jest . Możesz oczywiście pokazać to z definicji epsilonowej granicy, tylko po co, skoro to dosyć oczywiste, że taka parabola się rozbiega do minus nieskończoności :0.
Możesz rozumować tak, że x^2 rośnie szybciej niż x do nieskończoności i dlatego bierzemy pod uwagę tylko wyższy wykładnik, ale to takie wymachiwanie rękami. .

Właśnie wymachiwanie rękami

Sam jestem zaciekawiony jak to wyprowadzić do - nieskonczonosci z tej postaci

Najprościej zejść do definicji epsilonowej granicy. Innymi słowy musisz udowodnić, że dla każdego \(\displaystyle{ \alpha >0}\)nie istnieje taki \(\displaystyle{ \epsilon >0}\), że jeżeli \(\displaystyle{ x> }\), że \(\displaystyle{ \left| f(x)\right|}\)

\(\displaystyle{ -x^2+8x-14=-x^2(1-\frac{8}{x}+\frac{14}{x^2})}\)
teraz widać?

Heh, że też o tym nie pomyśleliśmy

Widać widać