Granice niektórych wyrażeń nieoznaczonych

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Awatar użytkownika
Szemek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 1407 razy

Granice niektórych wyrażeń nieoznaczonych

Post autor: Szemek » 11 lis 2008, o 14:15

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\tg x}{x} = 1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\hbox{sh } x}{x} = 1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\hbox{th } x}{x} = 1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{a^x-1}{x} = \ln a}\) dla \(\displaystyle{ a>0}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \pm\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \pm\infty} \left(1+\frac{a}{x}\right)^x = e^a}\) dla \(\displaystyle{ a\in \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\log_a(1+x)}{x} = \log_a e}\) dla \(\displaystyle{ a>0 \land a\neq 1}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Chromosom
Moderator
Moderator
Posty: 10367
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 127 razy
Pomógł: 1271 razy

Granice niektórych wyrażeń nieoznaczonych

Post autor: Chromosom » 10 lip 2012, o 21:34

Często padają pytania o dowody tych granic, warto zatem zamieścić je w tym temacie.

1. \(\displaystyle{ \blue\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}\)

Jest to jedna z najczęściej spotykanych granic. Zależność ta zostanie udowodniona poprzez zastosowanie twierdzenia o trzech funkcjach oraz nierówności: \(\displaystyle{ sin xle xle g x, xinleft[0,fracpi2
ight)}\)
. Nierówność tę można zilustrować rysunkiem:
Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{\sin x}{x}=\frac{\sin(-x)}{-x}}\), wystarczy rozpatrzyć wartości dodatnie. Przekształcając:
\(\displaystyle{ \sin x\le x\le\frac{\sin x}{\cos x}}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ \sin x>0}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\), możemy podzielić wszystkie wyrazy nierówności przez \(\displaystyle{ \sin x}\) i uzyskać następującą postać:
\(\displaystyle{ 1\le\frac{x}{\sin x}\le\frac{1}{\cos x}}\)
Biorąc odwrotności, otrzymujemy
\(\displaystyle{ 1\ge\frac{\sin x}{x}\ge\cos x}\)
Zatem, na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}1\ge\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\ge\lim_{x\to0}\cos x\\ \\ 1\ge\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\ge1\\ \\ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1}\)

2. \(\displaystyle{ \blue\lim_{x\to0}\frac{\tg x}{x}=1}\)

Wystarczy zastosować twierdzenie: granica iloczynu jest równa iloczynowi granic, i przekształcić:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\tg x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x\cos x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\cos x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\cdot1=1}\)


3. \(\displaystyle{ \blue\lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1}\)

Należy zastosować następujące podstawienie: \(\displaystyle{ x=\sin t}\). Wtedy \(\displaystyle{ t\to0}\) i granica przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to0}\frac{\arcsin(\sin t)}{\sin t}}\)
Dla \(\displaystyle{ t\in\left[-\frac\pi2,\,\frac\pi2\right]}\) zachodzi \(\displaystyle{ \arcsin(\sin t)=t}\), zatem granica przyjmuje postać
\(\displaystyle{ \lim_{t\to0}\frac{t}{\sin t}=\lim_{t\to0}\frac{1}{\frac{\sin t}{t}}=\frac{1}{\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}}=\frac{1}{1}=1}\)

4. \(\displaystyle{ \blue\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}=1}\)

Należy zastosować podstawienie \(\displaystyle{ x=\tg t}\). Wtedy \(\displaystyle{ t\to0}\) i granica przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to0}\frac{\arctan(\tg t)}{\tg t}}\)
Dla \(\displaystyle{ t\in\left(-\frac\pi2,\,\frac\pi2\right)}\) zachodzi \(\displaystyle{ \arctan(\tg t)=t}\), zatem granica przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to0}\frac{t}{\tg t}=\lim_{t\to0}\frac{1}{\frac{\tg t}{t}}=\frac{1}{\lim_{t\to0}\frac{\tg t}{t}}=\frac11=1}\)

Najpierw zostaną przedstawione dowody dwóch granic znajdujących się niżej:

5. \(\displaystyle{ \blue\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac ax\right)^x=e^a}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac ax\right)^x=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac ax\right)^{\frac xa}\right)^a}\)

Niech teraz \(\displaystyle{ x=at}\), wtedy \(\displaystyle{ t\to\pm\infty}\) i granica przyjmuje postać

\(\displaystyle{ \lim_{t\to\pm\infty}\left(\left(1+\frac1t\right)^t\right)^a=e^a}\)

6. \(\displaystyle{ \blue\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1}\)

Należy zastosować podstawienie \(\displaystyle{ e^x-1=\frac1t}\). Wtedy \(\displaystyle{ x=\ln\left(1+\frac1t\right)}\), ponadto \(\displaystyle{ t\to\pm\infty}\) i granica przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to\pm\infty}\frac{1}{t\ln\left(1+\frac1t\right)}=\lim_{t\to\pm\infty}\frac{1}{\ln\left(1+\frac1t\right)^t}=\frac{1}{\ln e}=1}\)
Czyli
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1}\)

7. \(\displaystyle{ \blue\lim_{x\to0}\frac{\sinh x}{x}=1}\)

Granicę można przekształcić zgodnie z definicją sinusa hiperbolicznego: \(\displaystyle{ \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}}\):
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{2x}=\lim_{x\to0}e^{-x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{2x}=1\cdot\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{2x}}\)
Niech teraz \(\displaystyle{ 2x=t}\), wtedy \(\displaystyle{ t\to0}\) i granica przyjmuje postać
\(\displaystyle{ \lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=1}\)

8. \(\displaystyle{ \blue\lim_{x\to0}\frac{\tanh x}{x}=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\tanh x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sinh x}{x\cosh x}=\lim_{x\to0}\frac{1}{\cosh x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sinh x}{x}=1\cdot1=1}\)


9. \(\displaystyle{ \blue\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{e^{x\ln a}-1}{x}=\ln a\cdot\lim_{x\to0}\frac{e^{x\ln a}-1}{x\ln a}}\)

Niech teraz \(\displaystyle{ x\ln a=t}\), wtedy \(\displaystyle{ t\to0}\) i granica przyjmuje postać

\(\displaystyle{ \ln a\cdot\lim_{t\to0}\frac{e^t-1}{t}=\ln a\cdot1=\ln a}\)


10. \(\displaystyle{ \blue\lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e}\)

Jest to definicja liczby Eulera.


11. \(\displaystyle{ \blue\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=\lim_{x\to0}\ln(x+1)^{\frac 1x}}\)

Niech \(\displaystyle{ x=\frac1t}\). Wtedy granica przyjmuje postać

\(\displaystyle{ \lim_{t\to\pm\infty}\ln\left(1+\frac1t\right)^t=\ln e=1}\)


12. \(\displaystyle{ \blue\lim_{x\to0}\frac{\log_a(x+1)}{x}=\log_ae}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\log_a(x+1)}{x}=\lim_{x\to0}\log_a(x+1)^{\frac1x}=\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)^{\frac1x}}{\ln a}=\frac{1}{\ln a}=\frac{1}{\frac{\log_aa}{\log_ae}}=\log_ae}\)



Uwagi proszę zgłaszać na pw.

ODPOWIEDZ