kilka zadań z granic funkcji

[emil1]

1. zbadać ciągłość funkcji:
a) \(\displaystyle{ f(x)=x+\frac{1}{x}}\)
b) \(\displaystyle{ f(x)=xsin\frac{\pi}{x}}\)

2. Obliczyć granicę funkcji:
a) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\sqrt[x]{1+sinx}}\)
b) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}(1+kx)^{\frac{n}{x}}}\)
c) \(\displaystyle{ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(tgx-\frac{1}{cosx})}\)
d) \(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}(\sqrt{x^2+1}+x)}\)
e) \(\displaystyle{ \lim_{x\to }\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1-x^3}}}\)
f) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}(1-3x)^{\frac{1}{x}}}\)
g) \(\displaystyle{ \lim_{x\to }\frac{tg\frac{1}{x}}{tg\frac{2}{x}}}\)
h) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0-}\frac{tg3x}{x^3}}\)
i) \(\displaystyle{ \lim_{x\to \frac{\pi}{2}-}\frac{tgx}{tg5x}}\)
j) \(\displaystyle{ \lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(-1)^{[x]}}{x^2-9}}\)

Trochę dużo tego jest;/ Będę wdzięczny za każdą pomoc. Nawet za naprowadzenie.
Z góry WIELKIE dzięki.

[Lorek]

1. Oczywiście jako funkcje elementarne są to funkcje ciągłe.
2. W większości wystarczy odpowiednio poprzekształcać, i skorzystać z tego, że jeżeli \(\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x) =0}\) to
\(\displaystyle{ \lim_{x\to x_0} \frac{\sin [f(x)]}{f(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{\tan [f(x)]}{f(x)}=\lim_{x\to x_0}[1+f(x)]^\frac{1}{f(x)}=1}\)

[emil1]

to jest jakiś wzór, regóła czy rozwiązanie któregoś zadania bo zbytnio nie rozumie ??
\(\displaystyle{ \lim_{x\to x_0} \frac{\sin [f(x)]}{f(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{\tan [f(x)]}{f(x)}=\lim_{x\to x_0}[1+f(x)]^\frac{1}{f(x)}=1}\)

[Lorek]

to jest jakiś wzór, reguła

Jedno i/lub drugie, np:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{\tan 5x}=\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}\cdot \frac{5x}{\tan 5x}\cdot \frac{1}{5}=\frac{1}{5}}\)
bo zgodnie z tym wzorem (dokladniej jednym z nich)
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1, \; \lim_{x\to 0}\frac{5x}{\tan 5x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\frac{\tan 5x}{5x}}=\frac{1}{1}=1}\)
a później odpowiednio domnażamy by mieć równość.