Obliczyć granice

[5artos]

Witam
Prosił bym o rozwiązanie takich przykładzików

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0}(x\sin \frac{1}{x})}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1^{+}}e^{\frac{1}{1-x}}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to } (\frac{x+3}{x})^{2x}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}}(1-2x)^{\frac{1}{x}}}\)

z góry dzięki

[sir_matin]

1. Dla \(\displaystyle{ x\neq 0}\) mamy \(\displaystyle{ -|x|\leqslant xsin\frac{1}{x}\leqslant |x|}\) obliczamy granice \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} (-|x|)=0\\ \lim_{x\to 0} |x|=0}\)
z twierdzenia o trzech ciagach wynika ze \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} xsin\frac{1}{x}=0.}\)

2. \(\displaystyle{ \lim_{x\to 1^{+}} e^{\frac{1}{1-x}}=
e^{ \lim_{x\to 1^{+}} \frac{1}{1-x}}=
e^{\frac{1}{0^{-}}}=e^{-\infty}=0}\)
korzystamy z ciaglosci funkcji exp.

3.\(\displaystyle{ \lim_{x\to } (\frac{x+3}{x})^{2x}=
\lim_{x\to } (1+\frac{3}{x})^{2x}=
\lim_{x\to } [(1+\frac{1}{\frac{x}{3}})^{\frac{x}{3}}]^6=e^{6}}\)
korzystamy z rownosci \(\displaystyle{ \lim_{u\to } (1+\frac{1}{u})^{u}=e.}\)

4.\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0^{+}} (1-2x)^{\frac{1}{x}}=
\lim_{x\to 0^{+}} e^{\frac{\ln (1-2x)}{x}}}=
e^{\lim_{x\to 0^{+}} \frac{\ln (1-2x)}{x}}}=
e^{\frac{\ln 1}{0^{+}}}=e^{\infty}=\infty}\)
korzystamy z tozsamosci \(\displaystyle{ a^{b}=e^{b \ln a}}\) i z wlasnosci z przykladu 2.

[5artos]

Wielkie dzięki za pomoc juz rozumiem