Przedłużenie ciągłości funkcji

[kt26420]

Niech funkcja \(\displaystyle{ f}\) będzie dana dla wszystkich par liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (x, y)}\), gdzie \(\displaystyle{ y > 0,}\)
wzorem\(\displaystyle{ f(x, y) = e^{\frac{x^2}{y}}}\). Zbadać, czy f da przedłużyć się do funkcji ciągłej na zbiorze:
\(\displaystyle{ (a)\ \{(x, y): y \ge ­ 0, x \in \RR, (x, y) \neq (0, 0)\};
}\)
\(\displaystyle{ (b)\ \{(x, y): y \ge ­ 0, x \in \RR\}.}\)

Jak takie coś się robi? Byłabym bardzo wdzięczna za pomoc

[a4karo]

Ustalasz `x_0` i patrzysz czy istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to(x_0,0)} f(x,y)}\). Jeżeli nie istnieje, to z przedłużenia nici. A jeżeli istnieje, to ta granica będzie kandydatem na `f(x_0,0)`. Na koniec musisz sprawdzić, czy ta "przedłużona" funkcja jest ciągła.

[kt26420]

No chyba istnieje i jest równa 1, tak?

[a4karo]

Nie chybaj, tylko policz

[kt26420]

Nie chybaj, tylko policz

Policzyłam, wyszło 1 (\(\displaystyle{ e^{0} }\))

[a4karo]

Pokaż jak

[kt26420]

Pokaż jak

Jeśli x mam ustalony to \(\displaystyle{ \lim_{y \to \infty} e^{ \frac{x^2}{y} }
= e^{ \frac{x^2}{\infty}} = e^{0} = 1.
}\)

[a4karo]

A skąd się nieskończoność wzięła?

[kt26420]

A skąd się nieskończoność wzięła?

Przepraszam, musi tam być \(\displaystyle{ y \rightarrow 0 }\) i wtedy by miałam \(\displaystyle{ e^{ \infty } = \infty }\)

Dodano po 45 sekundach:

Pokaż jak

Jeśli x mam ustalony to \(\displaystyle{ \lim_{y \to \infty} e^{ \frac{x^2}{y} }
= e^{ \frac{x^2}{\infty}} = e^{0} = 1.
}\)

[a4karo]

Podejrzewam, że w wzorze na funkcję miał być minus w wykładniku. Bez niego zadanie jest nieciekawe

[kt26420]

Nie ma minusa, ale też myślę że nie mogłoby być takie proste.

[a4karo]

To zrób tak, jakby był