pierwiastek n-tego stopnia

[wojciechfil20]

Czy granicę typu \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{6^n+5^n+4^n} }\) można liczyć w ten sposób?
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{6^n+5^n+4^n} = \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{6^n \cdot (1+ (\frac{5}{6})^n + (\frac{4}{5})^n)} = \lim_{ n\to \infty } 6 \cdot \sqrt[n]{1+ (\frac{5}{6})^n + (\frac{4}{5})^n} = 6 \cdot 1 = 6}\)

[Janusz Tracz]

Można.

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } 6 \cdot \sqrt[n]{1+ (\frac{5}{6})^n + (\frac{4}{5})^n} = 6 \cdot 1 }\)

Ja bym jednak zapytał się, skąd wziąłeś tę równość, bo to wygląda ciut podejrzanie.

JK

[Janusz Tracz]

Ukryta treść:    

• Można oszacować: \(\displaystyle{ 1 \le \sqrt[n]{1+ \left( \frac{5}{6}\right)^n+\left( \frac{4}{6}\right)^n } \le \sqrt[n]{3}.}\)

• Można z ciągłości \(\displaystyle{ x\mapsto e^x}\) oraz \(\displaystyle{ x\mapsto \ln x}\).

• Można z ciągłość \(\displaystyle{ (x,y)\mapsto x^y.}\)

• (thanks to Dasio11) Można też zapisać \(\displaystyle{ a_n^{b_n}/a^b= \left( a_n/a\right)^{b_n} a^{b_n-b} }\) i pokazać, że: \(\displaystyle{ \left( a_n/a\right)^{b_n}\to 1}\) korzystając z faktu, że \(\displaystyle{ \left| b_n\right| }\) jest ograniczony jako, że \(\displaystyle{ b_n}\) jest zbieżny oraz, że \(\displaystyle{ a^{b_n-b}\to 1}\) z nierówności Bernoullego.

[Jan Kraszewski]

Janusz Tracz, oczywiście wszystko to można zrobić, a jedną z tych rzeczy nawet trzeba. Natomiast zakwestionowany zapis budzi we mnie poważne obawy, że autor najpierw pod pierwiastkiem przeszedł do granicy, a potem wyciągnął pierwiastek z jedynki (czego oczywiście nie wolno zrobić).

JK

[Janusz Tracz]

Ale nawet jeśli autor tak zrobił to skorzystał z prawdziwego twierdzenia. Jeśli \(\displaystyle{ a_n\to a>0}\) oraz \(\displaystyle{ b_n\to b\in \RR}\) to \(\displaystyle{ a_n^{b_n}\to a^b}\). Nie wnikam teraz w to czy wykorzystanie tego twierdzenia było świadome czy nie (chyba, że o świadomość tego twierdzenia Ci chodzi? @JK. Jeśli tak to ok. Wiem wtedy co czujesz.) Jeśli jednak autor ma świadomość tego twierdzenia to nie widzę przeciwskazań w wyliczaniu granicy po kawału. Wydaje mi się, że ta rozmowa zaczyna przypominać naszą ostatnią rozmowę na ten temat. Ale jak liczy się granicę

\(\displaystyle{ \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n^2}{n^2+1} \to 1 }\)

to robi się to po kawału. Tylko twierdzenie \(\displaystyle{ a_n\to a \ \& \ b_n\to b \ \Rightarrow \ a_nb_n\to ab}\) traktowane jest tu jako oczywiste.

EDIT: Innymi słowy czy tu jest problem matematyczny czy dydaktyczny? Osobiście dydaktyczny widzę. Matematyczny nie.

[Jan Kraszewski]

Ale nawet jeśli autor tak zrobił to skorzystał z prawdziwego twierdzenia. Jeśli \(\displaystyle{ a_n\to a>0}\) oraz \(\displaystyle{ b_n\to b\in \RR}\) to \(\displaystyle{ a_n^{b_n}\to a^b}\). Nie wnikam teraz w to czy wykorzystanie tego twierdzenia było świadome czy nie (chyba, że świadomość tego twierdzenia Ci chodzi? @JK. Jeśli tak to ok. Wiem wtedy co czujesz.) Jeśli jednak autor ma świadomość tego twierdzenia to nie widzę przeciwskazań w wyliczaniu granicy po kawału.

Chyba po kawałku (a nie dla kawału...).

Tak, chodzi mi o świadomość. Bo jeśli rachunek polegał na "przejściu"

\(\displaystyle{ 6 \cdot \sqrt[n]{1+ (\frac{5}{6})^n + (\frac{4}{5})^n} \rightarrow 6 \cdot \sqrt[n]{1} = 6 \cdot 1}\)

(a nie na skorzystaniu z zacytowanego twierdzenia), to to się dla mnie jednak nie broni.

Ale jak się liczy się granicę

\(\displaystyle{ \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n^2}{n^2+1} \to 1 }\)

to robi się to po kawału. Tylko twierdzenie \(\displaystyle{ a_n\to a \ \& \ b_n\to b \ \Rightarrow \ a_nb_n\to ab}\) traktowane jest tu jako oczywiste.

Nie bardzo widzę, co tu liczyć po kawałku, skoro to po prostu zastosowanie zacytowanego przez Ciebie twierdzenia (i dlatego lepiej - ze względu na to twierdzenie - wygląda mi

\(\displaystyle{ \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n^2}{n^2+1} \to 1\cdot 1=1).}\)

JK

[Janusz Tracz]

Chyba po kawałku (a nie dla kawału...).

No tak

Tak, chodzi mi o świadomość. Bo jeśli rachunek polegał na "przejściu"... to to się dla mnie jednak nie broni.

Też tak uważam.

Ale jak się liczy się granicę

\(\displaystyle{ \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n^2}{n^2+1} \to 1 }\)

to robi się to po kawału. Tylko twierdzenie \(\displaystyle{ a_n\to a \ \& \ b_n\to b \ \Rightarrow \ a_nb_n\to ab}\) traktowane jest tu jako oczywiste.

Nie bardzo widzę, co tu liczyć po kawałku, skoro to po prostu zastosowanie zacytowanego przez Ciebie twierdzenia...

Niby tak. Ale aby zauważyć, że twierdzenie da się tu zastosować to trzeba sprawdzić jego założenia. Jakby nie było myślowo tworzysz sobie kontekst:

\(\displaystyle{ a_n=\frac{n+1}{n} \quad b_n= \frac{n^2}{n^2+1}}\)

potem \(\displaystyle{ a_n\to 1 \ \& \ b_n\to 1}\) i tak dalej... myślowo próbujesz zrobić taką granicę po kawałku. To znaczy to jest pytanie do Ciebie. No bo ja robię to właśnie tak po kawałku (ale nikomu się do tego nie przyznaję), a jak się udaje to dopasowuję to do twierdzenia o arytmetyce granic. Nie widzę innego sposobu. Tak samo z granicą daną przez autora. Ja dosłownie popatrzę do czego dąży to co pod pierwiastkiem potem jaki to pierwiastek, a na końcu zastanawiam się czy tu jest jakiś problem (w stylu symbol nieoznaczony). Albo inaczej. Dlaczego przy liczeniu granicy

\(\displaystyle{ \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n^2}{n^2+1} \to 1}\)

wybierasz ciągi

\(\displaystyle{ a_n=\frac{n+1}{n} \quad b_n= \frac{n^2}{n^2+1}}\)

które wstawiasz do twierdzenia: \(\displaystyle{ a_n\to a \ \& \ b_n\to b \ \Rightarrow \ a_nb_n\to ab}\). Moja odpowiedź to: po pierwsze bo to działa i jest naturalne ale co ważniejsze bo myślowo policzyłeś po kawałku taką granicę (nikomu się nie przyznałeś ale potem wpadłeś na taki rozkład). Rozkład mógłby być inny.

PS Wszystkie personalne odniesienia w tym co napisałem nie są personalne. Nie wiem czy tak postępujesz przy liczeniu granic. Ja tak postępuję przez co wydaje mi się to naturalne. Jeśli jest inaczej to chętnie zobaczę inny sposób.

[Jan Kraszewski]

Moja odpowiedź to: po pierwsze bo to działa i jest naturalne ale co ważniejsze bo myślowo policzyłeś po kawałku taką granicę (nikomu się nie przyznałeś ale potem wpadłeś na taki rozkład).

To co robisz sobie "na boku" (czyli - jak mówię - "w brudnopisie") to Twoja sprawa, można kombinować na różne sposoby, bo nikt tam nie będzie zaglądał. Ale jak już masz oficjalne rozwiązanie, to tylko "porządne" metody (arytmetyka granic, trzy ciągi itd.).

Natomiast takie przechodzenie do granicy po kawałku często świadczy o nieświadomości, co wolno, a czego nie wolno robić (i dlaczego). A ponieważ bywa, że takie nielegalne metody prowadzą do poprawnego wyniku, to potem jest oburzenie, czego się czepiam - przecież wynik jest dobry...

Nie wiem czy tak postępujesz przy liczeniu granic.

Chyba jednak nie, ale ja na co dzień nie liczę granic.

JK

[a4karo]

...

Tak, chodzi mi o świadomość. Bo jeśli rachunek polegał na "przejściu"

\(\displaystyle{ 6 \cdot \sqrt[n]{1+ (\frac{5}{6})^n + (\frac{4}{5})^n} \rightarrow 6 \cdot \sqrt[n]{1} = 6 \cdot 1}\)

(a nie na skorzystaniu z zacytowanego twierdzenia), to to się dla mnie jednak nie broni.

...

JK

Nie ma żadnej możliwości zweryfikowania jak autor rozumował. No chyba, że sam sie przyzna.
A jeżeli nie, to sprawę można zasygnalizować, ale in dubio pro reo, więc rozwiązanie nalezy uznać za poprawne.

(i, jeżeli chcemy, to uwalić na \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } \sqrt[n]{6^n \cdot (1+ (\frac{5}{6})^n + (\frac{4}{\red{5}})^n)} }\))