granica funkcji - wysokie potęgi

[wojciechfil20]

\(\displaystyle{ a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)}\)

Dodano po 3 minutach 16 sekundach:
Szacaowanie opiera się na zmniejszeniu wartości mianownika - tutaj przez usunięcie wszystkich wyrazów oprócz \(\displaystyle{ x^8}\), a z drugiej strony na jej zwiększeniu - tutaj zastąpienie każdego wyrazu \(\displaystyle{ x^{10}}\).

[janusz47]

Podaje Pan równanie na różnicę piątych potęg, który podałem. Postać ilorazową tego równania należało zastosować przy obliczeniu granicy, w celu otworzenia pierwiastka piątego stopnia.

[Dasio11]

żeby unikąć wyrażenia nieoznaczonego w postaci \(\displaystyle{ \left[ \infty - \infty \right] }\) lub \(\displaystyle{ \left[ \infty \cdot 0\right] }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \sqrt[5]{x^{10} +x}-x^2 = \lim_{x \to \infty } (\sqrt[5]{x^{10} +x}-x^2) \cdot \frac{(\sqrt[5]{x^{10} +x})^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^3 \cdot x^2 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^2 \cdot x^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x}) \cdot x^6 + x^8}{(\sqrt[5]{x^{10} +x})^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^3 \cdot x^2 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^2 \cdot x^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x}) \cdot x^6 + x^8}=}\)
\(\displaystyle{ = \lim_{x \to \infty } \frac{x^{10}+x-x^{10}}{(\sqrt[5]{x^{10} +x})^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^3 \cdot x^2 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^2 \cdot x^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x}) \cdot x^6 + x^8}=}\)
\(\displaystyle{ = \lim_{x \to \infty } \frac{x}{(\sqrt[5]{x^{10} +x})^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^3 \cdot x^2 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^2 \cdot x^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x}) \cdot x^6 + x^8} }\)

tutaj z twierdzenia o trzech ciągach
\(\displaystyle{ \frac{x}{x^8} \le \frac{x}{(\sqrt[5]{x^{10} +x})^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^3 \cdot x^2 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^2 \cdot x^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x}) \cdot x^6 + x^8} \le \frac{x}{5 \cdot x^{10}} }\)

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{x}{x^8}=0 }\)
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{x}{5 \cdot x^{10}}=0 }\)
więc
\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } \frac{x}{(\sqrt[5]{x^{10} +x})^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^3 \cdot x^2 + (\sqrt[5]{x^{10} +x})^2 \cdot x^4 + (\sqrt[5]{x^{10} +x}) \cdot x^6 + x^8} = 0}\)

Uwzględniając poprawkę zwrotów nierówności metoda jest poprawna, z tym, że szacowanie wyrażeń typu \(\displaystyle{ \sqrt[5]{x^{10}+x}^4}\) od góry przez \(\displaystyle{ x^{10}}\) należałoby uzasadnić lub opatrzyć komentarzem "dla dużych \(\displaystyle{ x}\)" (co czyni nierówność oczywistą). A najprościej - od razu oszacować ułamek z dołu przez zero.

PS Aha, i nie twierdzenie o trzech ciągach, lecz o trzech funkcjach.

[Janusz Tracz]

Niech \(\displaystyle{ \alpha , \beta \ge 1 }\) oraz \(\displaystyle{ x>0}\) wtedy:

\(\displaystyle{ 0 \le \sqrt[ \alpha ]{x^{2\alpha} +x^ \beta }-x^2 = \frac{1}{ \alpha } \int_{x^{2 \alpha }}^{x^{2 \alpha }+x^ \beta } \xi^{1/ \alpha -1} \, \dd \xi \le \frac{1}{ \alpha } \times \frac{x^ \beta }{x^{2\left( 1- \alpha \right) }} }\)

więc, gdy \(\displaystyle{ \beta -2(1- \alpha )<0}\) to \(\displaystyle{ \sqrt[ \alpha ]{x^{2\alpha} +x^ \beta }-x^2\to 0}\) przy \(\displaystyle{ x\to \infty }\).

[a4karo]

A twierdzenie Lagrange'a załatwia sprawe w jednej linijce (no, w dwóch)
\(\displaystyle{ \sqrt[5]{x^{10}+x}-\sqrt[5]{x^{10}}=\frac{1}{5}\frac{x}{\sqrt[5]{\xi^4}}}\), gdzie \(\displaystyle{ x^{10}<\xi<x^{10}+x}\). Zatem \(\displaystyle{ \frac{1}{5}\frac{x}{\sqrt[5]{\xi^4}}<\frac{1}{5}\frac{x}{x^8}\to 0}\)

[janusz47]

Wszystko ładnie, pięknie i prosto, ale programy z matematyki są tak ułożone, że najpierw poznajemy rachunek granic i obliczamy granice, potem rachunek pochodnych z Twierdzeniem Lagrange'a, Twierdzeniem de'Hospitala, a potem rachunek całkowy, teorię szeregów...

[a4karo]

I cóż z tego ma wynikać ? Że nie można poznawać innych metod? Albo że na maturze obetną punkty za użycie niekoszernych sposobów?