wojciechfil20 pisze: ↑7 maja 2022, o 18:20\(\displaystyle{ a^5-b^5=(a-b)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)}\)
Dodano po 3 minutach 16 sekundach:
Szacaowanie opiera się na zmniejszeniu wartości mianownika - tutaj przez usunięcie wszystkich wyrazów oprócz \(\displaystyle{ x^8}\), a z drugiej strony na jej zwiększeniu - tutaj zastąpienie każdego wyrazu \(\displaystyle{ x^{10}}\).
Podaje Pan równanie na różnicę piątych potęg, który podałem. Postać ilorazową tego równania należało zastosować przy obliczeniu granicy, w celu otworzenia pierwiastka piątego stopnia.
wojciechfil20 pisze: ↑7 maja 2022, o 19:00
żeby unikąć wyrażenia nieoznaczonego w postaci \(\displaystyle{ \left[ \infty - \infty \right] }\) lub \(\displaystyle{ \left[ \infty \cdot 0\right] }\)
Uwzględniając poprawkę zwrotów nierówności metoda jest poprawna, z tym, że szacowanie wyrażeń typu \(\displaystyle{ \sqrt[5]{x^{10}+x}^4}\) od góry przez \(\displaystyle{ x^{10}}\) należałoby uzasadnić lub opatrzyć komentarzem "dla dużych \(\displaystyle{ x}\)" (co czyni nierówność oczywistą). A najprościej - od razu oszacować ułamek z dołu przez zero.
PS Aha, i nie twierdzenie o trzech ciągach, lecz o trzech funkcjach.
A twierdzenie Lagrange'a załatwia sprawe w jednej linijce (no, w dwóch) \(\displaystyle{ \sqrt[5]{x^{10}+x}-\sqrt[5]{x^{10}}=\frac{1}{5}\frac{x}{\sqrt[5]{\xi^4}}}\), gdzie \(\displaystyle{ x^{10}<\xi<x^{10}+x}\). Zatem \(\displaystyle{ \frac{1}{5}\frac{x}{\sqrt[5]{\xi^4}}<\frac{1}{5}\frac{x}{x^8}\to 0}\)
Wszystko ładnie, pięknie i prosto, ale programy z matematyki są tak ułożone, że najpierw poznajemy rachunek granic i obliczamy granice, potem rachunek pochodnych z Twierdzeniem Lagrange'a, Twierdzeniem de'Hospitala, a potem rachunek całkowy, teorię szeregów...