Granica w zerze

[41421356]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \ \frac{\frac{1}{x}-\cot x}{x}}\)

Jakieś pomysły bez użycia pochodnych?

[a4karo]

Wsk `\tan x=x+x^3/3+o(x^4)`

[41421356]

Czyli bez rozwinięcia w szereg się nie obejdzie?

[janusz47]

\(\displaystyle{ \cot(x) = \frac{1}{x}- \frac{1}{3}x + o(x^3). }\)

[Janusz Tracz]

Jakieś pomysły bez użycia pochodnych?

@a4karo & janusz47 rozumiem, ze szkolne funkcje definiujecie jako magiczne szeregi wyciągnięte z kapelusza? Co do zadania to zauważ, że

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{x}-\cot x}{x} = \left( \frac{\sin x-x}{x^3}+2 \frac{\sin^2 \frac{x}{2} }{x^2} \right) \cdot \frac{x}{\sin x} }\)

Nieoczywista jest tu zbieżność \(\displaystyle{ \left( \sin x-x\right)/x^3 }\). Jednak można zrobić to elementarnie (choć bardzo pomysłowo): .

[a4karo]

Obejdzie się: możesz zapisać wyrażenie w postaci
\(\displaystyle{ \frac{\sin x-x\cos x}{x^2\sin x}}\)
skorzystać z oszacowań
\(\displaystyle{ x-\frac{x^3}{3!}<\sin x<x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}}\)
\(\displaystyle{ 1-\frac{x^2}{2}<\cos x<1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{4!}}\)
i skorzystać z twierdzenia o trzech funkcjach

[janusz47]

Łatwiej jest rozwinąć w szereg Taylora - Maclaurina elementarną funkcję do dwóch składników, niż stosować karkołomne, nieczytelne przekształcenia i podawać przykłady na Stackexchange Math.

[a4karo]

Jakieś pomysły bez użycia pochodnych?

@a4karo & janusz47 rozumiem, ze szkolne funkcje definiujecie jako magiczne szeregi wyciągnięte z kapelusza? Co do zadania to zauważ, że

\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{x}-\cot x}{x} = \left( \frac{\sin x-x}{x^3}+2 \frac{\sin^2 \frac{x}{2} }{x^2} \right) \cdot \frac{x}{\sin x} }\)

Nieoczywista jest tu zbieżność \(\displaystyle{ \left( \sin x-x\right)/x^3 }\). Jednak można zrobić to elementarnie (choć bardzo pomysłowo): .

Zbieżność \(\displaystyle{ \left( \sin x-x\right)/x^3 }\) jest dużo bardziej oczywista niż wzorek, który napisałeś

Takie magiczne szacowania sinusa i kosinusa bez wprowadzania szeregu się u nas przerabiało w 2 kl. liceum. w temacie: fajne zabawy z całkami

`\cos x<1`
całkujemy od `0` do `x`
`\sin x<x`
jeszcze raz
`1-\cos x<x^2/2`
i tak dalej i tak dalej

[Janusz Tracz]

Łatwiej jest rozwinąć w szereg Taylora - Maclaurina elementarną funkcję do dwóch składników...

Problem w tym, że to autor ustala zasady gry, a nie Ty. Jest napisane, że ma być bez pochodnych. Więc albo magicznie definiujesz \(\displaystyle{ \ctg}\) jako szereg wyciągnięty z kapelusza albo rozwijasz (tylko wtedy korzystasz z pochodnych). Autor nie pyta co jest łatwiej tylko jak to zrobić bez pochodnych.

A w cytowaniu rozwiązań z Mathematics Stack Exchange nie widzę nic złego. Szczególnie, gdy wnoszą coś do tematu.

w temacie: fajne zabawy z całkami

Uznałem, że jak umiem scałkować \(\displaystyle{ \sin}\) to z pochodną \(\displaystyle{ \cos}\) dam sobie rade.

[41421356]

Łatwiej jest rozwinąć w szereg Taylora - Maclaurina elementarną funkcję do dwóch składników, niż stosować karkołomne, nieczytelne przekształcenia i podawać przykłady na Stackexchange Math.

Ciężko tłumaczyć to studentom, którzy nie mieli jeszcze pochodnych.