\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{\tg x-\sin x}{x^3}= \lim_{x \to 0 } \frac{\tg x}{x^3}- \frac{\sin x}{x^3}= \lim_{x \to 0 } \frac{ \frac{\tg x}{x} \cdot x }{x^3}-\frac{ \frac{\sin x}{x} \cdot x }{x^3}= \lim_{ x\to 0 } \frac{x}{x^3}- \frac{x}{x^3}= \lim_{x \to 0 } \frac{1}{x^2}- \frac{1}{x^2}=0
}\)
Podkreślam, że nie pytam o poprawne rozwiązanie tylko o wskazanie błędu w moim rozumowaniu.
Dlaczego to rozwiązanie jest błędne?
- atanazygwiezducha
- Użytkownik
- Posty: 22
- Rejestracja: 30 lis 2021, o 21:47
- Płeć: Mężczyzna
- wiek: 23
- Podziękował: 8 razy
Dlaczego to rozwiązanie jest błędne?
Ostatnio zmieniony 6 kwie 2022, o 13:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd. Symbol mnożenia to \cdot.
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Dlaczego to rozwiązanie jest błędne?
W trzeciej równości przechodzisz z niektórymi \(\displaystyle{ x}\) do zera, a z niektórymi nie. Tak (zwykle) nie wolno.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
- Janusz Tracz
- Użytkownik
- Posty: 4069
- Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: hrubielowo
- Podziękował: 80 razy
- Pomógł: 1393 razy
Re: Dlaczego to rozwiązanie jest błędne?
Przy pewnych założeniach (powiedzmy \(\displaystyle{ a_n\to a}\) oraz \(\displaystyle{ b_n\to b}\)) jest
PS \(\displaystyle{ n}\) czy \(\displaystyle{ x}\) to nie ma znaczenia
PPS domyślam się jednak (to znaczy wyobrażam sobie inny sposób patrzenia na granicę bardziej formalny), że mój argument może byś słaby.
\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } (a_n+b_n) = \lim_{n \to \infty } a_n+ \lim_{ n \to \infty } b_n }\)
więc napisać można \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } (a_n+b_n) = a + \lim_{ n \to \infty } b_n }\)
albo nawet \(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } (a_n+b_n) = \lim_{ n \to \infty } (a +b_n). }\)
Jak dla mnie to jest przechodzenie z częścią \(\displaystyle{ n}\) do nieskończoności (tylko poparte twierdzeniami o arytmetyce granic).PS \(\displaystyle{ n}\) czy \(\displaystyle{ x}\) to nie ma znaczenia
PPS domyślam się jednak (to znaczy wyobrażam sobie inny sposób patrzenia na granicę bardziej formalny), że mój argument może byś słaby.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Dlaczego to rozwiązanie jest błędne?
Ten przykład jest dla mnie dość sztuczny.
Jeżeli ktoś jest świadom, że różnego rodzaju manipulacje przy przechodzeniu do granicy są za każdym razem konsekwencją odpowiednich twierdzeń dotyczących arytmetyki granic, to raczej nie popełni takiego błędu. Ale większość (jak sądzę) osób nie zaprząta sobie głowy jakimiś twierdzeniami, tylko traktuje to czysto algorytmicznie. I dlatego właśnie przekaz powinien być jasny: "tak nigdy nie wolno".
JK
Jeżeli ktoś jest świadom, że różnego rodzaju manipulacje przy przechodzeniu do granicy są za każdym razem konsekwencją odpowiednich twierdzeń dotyczących arytmetyki granic, to raczej nie popełni takiego błędu. Ale większość (jak sądzę) osób nie zaprząta sobie głowy jakimiś twierdzeniami, tylko traktuje to czysto algorytmicznie. I dlatego właśnie przekaz powinien być jasny: "tak nigdy nie wolno".
JK