Dlaczego to rozwiązanie jest błędne?

[atanazygwiezducha]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0 } \frac{\tg x-\sin x}{x^3}= \lim_{x \to 0 } \frac{\tg x}{x^3}- \frac{\sin x}{x^3}= \lim_{x \to 0 } \frac{ \frac{\tg x}{x} \cdot x }{x^3}-\frac{ \frac{\sin x}{x} \cdot x }{x^3}= \lim_{ x\to 0 } \frac{x}{x^3}- \frac{x}{x^3}= \lim_{x \to 0 } \frac{1}{x^2}- \frac{1}{x^2}=0
}\)
Podkreślam, że nie pytam o poprawne rozwiązanie tylko o wskazanie błędu w moim rozumowaniu.

[Janusz Tracz]

W trzeciej równości przechodzisz z niektórymi \(\displaystyle{ x}\) do zera, a z niektórymi nie. Tak (zwykle) nie wolno.

[Jan Kraszewski]

Tak (zwykle) nie wolno.

Tak nigdy nie wolno.

JK

[Janusz Tracz]

Przy pewnych założeniach (powiedzmy \(\displaystyle{ a_n\to a}\) oraz \(\displaystyle{ b_n\to b}\)) jest

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } (a_n+b_n) = \lim_{n \to \infty } a_n+ \lim_{ n \to \infty } b_n }\)

więc napisać można

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } (a_n+b_n) = a + \lim_{ n \to \infty } b_n }\)

albo nawet

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty } (a_n+b_n) = \lim_{ n \to \infty } (a +b_n). }\)

Jak dla mnie to jest przechodzenie z częścią \(\displaystyle{ n}\) do nieskończoności (tylko poparte twierdzeniami o arytmetyce granic).

PS \(\displaystyle{ n}\) czy \(\displaystyle{ x}\) to nie ma znaczenia

PPS domyślam się jednak (to znaczy wyobrażam sobie inny sposób patrzenia na granicę bardziej formalny), że mój argument może byś słaby.

[Jan Kraszewski]

Ten przykład jest dla mnie dość sztuczny.

Jeżeli ktoś jest świadom, że różnego rodzaju manipulacje przy przechodzeniu do granicy są za każdym razem konsekwencją odpowiednich twierdzeń dotyczących arytmetyki granic, to raczej nie popełni takiego błędu. Ale większość (jak sądzę) osób nie zaprząta sobie głowy jakimiś twierdzeniami, tylko traktuje to czysto algorytmicznie. I dlatego właśnie przekaz powinien być jasny: "tak nigdy nie wolno".

JK