Ciągłość funkcji

[wikusi290]

Czy mógłby ktoś mnie nakierować jak rozwiązać takie zadanie? Kompletnie nie wiem od czego zacząć
Musze zbadać jednostajna ciągłość funkcji dana wzorem \(\displaystyle{ f(x)=e ^{ \frac{1}{x ^{2} -1} } }\) w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\).
Czy powinnam to spróbować rozpatrzeć w przedziale \(\displaystyle{ [0,1]}\), czy to ma sens?

[Tmkk]

Rozumiem, że chcesz przedłużyć tę funkcję i pokazać, że jest ciągła na \(\displaystyle{ [0,1]}\) i użyć twierdzenia Cantora, żeby stwierdzić, że w takim razie jest jednostajnie ciągła. Pomysł dobry, ale jest problem w \(\displaystyle{ x=1}\) i tak się nie uda.

Ogólnie ta funkcja nie jest jednostajnie ciągła na \(\displaystyle{ (0,1)}\). Jakie znasz sposoby pokazywania, że funkcja nie jest jednostajnie ciągła?

[wikusi290]

Szczerze powiedziawszy to najbliższy mi jest warunek Lipschitza, ewentualnie twierdzenie Cantora i podstawowe twierdzenie, że funkcja jest jednostajnie ciągła, o ile \(\displaystyle{ |x-x’|< \alpha \Rightarrow |f(x)-f(x’)|< \varepsilon}\) i teraz nie wiem, które twierdzenie by było najkorzystniejsze do użycia w moim przypadku?

[Tmkk]

Te twierdzenia pomagają stwierdzić, że funkcja jest jednostajnie ciągła, a twoja nie będzie, więc tak się nie uda.

Możesz próbować z definicji, ale to będzie średnio wygodne. Ja kiedyś na studiach miałem takie twierdzonko, że funkcja \(\displaystyle{ f : A \to \mathbb{R}}\) jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych ciągów \(\displaystyle{ (x_n), (y_n) \subset A}\) warunek \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (x_n - y_n) = 0}\) implikuje \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (f(x_n) - f(y_n)) = 0}\). Znasz taką charakteryzację? Jej dowód to głównie użycie definicji, ale mimo wszystko jest znacznie przyjemniej, kiedy się go używa.

[wikusi290]

Nie miałam takiego twierdzenia, a może z zaprzeczenia definicji jednostajnej ciągłości funkcji?

Dodano po 4 minutach 17 sekundach:
a może wystarczy ten fakt, ze funkcja jest określona na przedziałach otwartych, ale na krańcach nie ma granicy właściwej?

[Tmkk]

Jeju, przepraszam najmocniej za wprowadzenie w błąd, nie wiem co ja w tej funkcji widziałem. Oczywiście ani w \(\displaystyle{ x=0}\), ani w \(\displaystyle{ x=1}\) nie ma żadnego problemu i pomysł z przedłużeniem na przedział \(\displaystyle{ [0,1]}\) jest jak najbardziej poprawny. Policz sobie tylko te granice i powołaj się na tw Cantora.

[wikusi290]

a więc granica tej funkcji w punkcie 0 wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{e} }\), a w punkcie 1 nie istnieje, czy to już wyklucza jednostajna ciągłość tej funkcji?

[Tmkk]

ale Ciebie interesuje tylko granica lewostronna w jedynce, a tu jest ok:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1^-} e^{\frac{1}{x^2-1}} = 0}\).

Innymi słowy, taka funkcja

\(\displaystyle{ g(x) = \begin{cases} \frac{1}{e} \qquad \hbox{ gdy } x = 0 \\ e^{\frac{1}{x^2-1}} \ \ \hbox{ gdy } x \in (0,1) \\ 0 \qquad \hbox{ gdy } x = 1 \end{cases} }\)

jest ciągła i określona na przedziale domkniętym \(\displaystyle{ [0,1]}\), więc jednostajnie ciągła (tw. Cantora). A Twoja wyjściowa funkcja jest jej obcięciem do \(\displaystyle{ (0,1)}\), więc też jest jednostajnie ciągła.

[wikusi290]

dziękuje już rozumiem o co chodzi. Jeszcze mam jedno pytanie. Jakbym musiała rozpatrywać tą funkcje na przedziale \(\displaystyle{ [1, \infty )}\) to wystarczy mi fakt, że ta funkcje jest ciągła i istnieje \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty } f(x) =g }\) w moim przypadku g=1, to ta funkcja jest jednostajnie ciągła? czy to mogę nazwać zbadaniem?

[Tmkk]

Masz na myśli przedział \(\displaystyle{ (1,\infty)}\), tak? Bo w jedynce wyjściowa funkcja nie jest określona.

Zgadza się, można by zrobić podobnie jak przed chwilą i spróbować przedłużyć na przedział \(\displaystyle{ [1,\infty)}\). I wtedy gdyby ta funkcja była tam ciągła, to tak - takie rozumowanie byłoby poprawne. Zaznaczam tylko, że ten warunek z granicą z nieskończoności, to jest jakieś kryterium, na które trzeba się powołać lub uzasadnić.

Ale niestety tutaj już będzie problem z przedłużeniem z prawej strony, ponieważ:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 1^+} e^{\frac{1}{x^2-1}} = +\infty}\).

I już tym razem, właśnie przez ten punkt, nie będzie jednostajniej ciągłości.

[wikusi290]

tak, dziękuje bardzo za pomoc