Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
-
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 14 sty 2022, o 19:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 59 razy
Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
Mam do obliczenia taką granice
\(\displaystyle{
\lim _{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
}\)
Mam to policzyć za pomocą reguły de l’Hospitala. Pomoże ktoś?
\(\displaystyle{
\lim _{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
}\)
Mam to policzyć za pomocą reguły de l’Hospitala. Pomoże ktoś?
Ostatnio zmieniony 15 lut 2022, o 21:40 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 14 sty 2022, o 19:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 59 razy
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
Taki że tutaj granica sinx/x przeczytałem że nie powinno się obliczać takich przykładów jak ten korzystając z reguły de l’Hospitala. Ale musze to zrobić wykorzystując właśnie tą regułe.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
Tego się nie liczy z tej reguły, bo trzeba wiedzieć, że ta granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\) i już. Ale jeżeli Ci każą tak liczyć to w mianowniku sinus zmieni się na cosinus (bo pochodna z sinusa to cosinus), a \(\displaystyle{ x}\) zmieni się na \(\displaystyle{ 1}\) (pochodna wielomianu/jednomianu). Tylko trzeba pamiętać, że według tej reguły robimy iloraz pochodnych, a nie pochodną ilorazu.
-
- Użytkownik
- Posty: 22210
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
Wszystko zależy od tego w jaki sposób wprowadzono pojęcie sinusa. Istotnie, do policzenia pochodnej sinusa w klasycznej wersji konieczne jest obliczenie tej granicy i dostajemy węża, który zjada własny ogon. Ale można wprowadzić sinusa jako szereg potęgowy, albo jako rozwiązanie pewnego układu równań funkcyjnych i wtedy jak najbardziej można liczyć tę granicę używając reguły de l'Hospitala
@Niepokonana: w matematyce nic nie trzeba wiedzieć (chyba, że piszesz o aksjomatach). W matematyce wszystko sie dowodzi. A jak już raz się udowodni, to się wie.
@Niepokonana: w matematyce nic nie trzeba wiedzieć (chyba, że piszesz o aksjomatach). W matematyce wszystko sie dowodzi. A jak już raz się udowodni, to się wie.
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
Skoro tak Ci kazano, to po prostu to zrób... A wiedza, że w pewnych sytuacjach nie należy tego robić poszerzy Twoje horyzonty.
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 14 sty 2022, o 19:44
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 59 razy
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
A możesz wytłumaczyć jak to zrobić?a4karo pisze: ↑16 lut 2022, o 14:58 Wszystko zależy od tego w jaki sposób wprowadzono pojęcie sinusa. Istotnie, do policzenia pochodnej sinusa w klasycznej wersji konieczne jest obliczenie tej granicy i dostajemy węża, który zjada własny ogon. Ale można wprowadzić sinusa jako szereg potęgowy, albo jako rozwiązanie pewnego układu równań funkcyjnych i wtedy jak najbardziej można liczyć tę granicę używając reguły de l'Hospitala
@Niepokonana: w matematyce nic nie trzeba wiedzieć (chyba, że piszesz o aksjomatach). W matematyce wszystko sie dowodzi. A jak już raz się udowodni, to się wie.
- Niepokonana
- Użytkownik
- Posty: 1548
- Rejestracja: 4 sie 2019, o 11:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 337 razy
- Pomógł: 20 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} }\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ f(x) = \sin(x).}\)
Mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{f(0) +\frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f^{''}(c)}{2!} x^2}{x} = }\)
\(\displaystyle{ = \lim_{x\to 0}\frac{0 +x - \frac{\sin(c)}{2!}x^2}{x} = }\)
\(\displaystyle{ = \lim_{x\to 0} \left(1 - \frac{\sin(c)}{2!}x \right) = 1.}\)
Dodano po 19 minutach 53 sekundach:
Zauważmy dodatkowo, że liczba \(\displaystyle{ c }\) jest odpowiednio dobraną liczbą wewnątrz odcinka o końcach \(\displaystyle{ 0 }\) i \(\displaystyle{ x.}\)
Zatem, gdy \(\displaystyle{ x }\) dąży do zera, to \(\displaystyle{ c }\) też dąży do zera, a stąd \(\displaystyle{ \frac{\sin(c)}{2!}}\) dąży do zera.
Oznaczmy \(\displaystyle{ f(x) = \sin(x).}\)
Mamy
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{f(0) +\frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f^{''}(c)}{2!} x^2}{x} = }\)
\(\displaystyle{ = \lim_{x\to 0}\frac{0 +x - \frac{\sin(c)}{2!}x^2}{x} = }\)
\(\displaystyle{ = \lim_{x\to 0} \left(1 - \frac{\sin(c)}{2!}x \right) = 1.}\)
Dodano po 19 minutach 53 sekundach:
Zauważmy dodatkowo, że liczba \(\displaystyle{ c }\) jest odpowiednio dobraną liczbą wewnątrz odcinka o końcach \(\displaystyle{ 0 }\) i \(\displaystyle{ x.}\)
Zatem, gdy \(\displaystyle{ x }\) dąży do zera, to \(\displaystyle{ c }\) też dąży do zera, a stąd \(\displaystyle{ \frac{\sin(c)}{2!}}\) dąży do zera.
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 21 sie 2014, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
No ale, aby policzyć pochodną sinusa, to też trzeba wcześniej policzyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}\)
-
- Administrator
- Posty: 34285
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
To już było dyskutowane. Polecenie wyjściowe było
JK
-
- Użytkownik
- Posty: 286
- Rejestracja: 21 sie 2014, o 14:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 30 razy
Re: Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala
No tak, dlatego właśnie zwracam uwagę że skoro ma być Hospitalem to ma być Hospitalem, to po co wzór Taylora skoro ani to Hospital, ani poprawne co do kolejności wyprowadzeN.