Obliczyć granicę funkcji korzystając z regułu de l’H ˆospitala

[hutsalo]

Mam do obliczenia taką granice
\(\displaystyle{
\lim _{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
}\)
Mam to policzyć za pomocą reguły de l’Hospitala. Pomoże ktoś?

[Jan Kraszewski]

A jaki masz z tym problem?

JK

[hutsalo]

Taki że tutaj granica sinx/x przeczytałem że nie powinno się obliczać takich przykładów jak ten korzystając z reguły de l’Hospitala. Ale musze to zrobić wykorzystując właśnie tą regułe.

[Niepokonana]

Tego się nie liczy z tej reguły, bo trzeba wiedzieć, że ta granica wynosi \(\displaystyle{ 1}\) i już. Ale jeżeli Ci każą tak liczyć to w mianowniku sinus zmieni się na cosinus (bo pochodna z sinusa to cosinus), a \(\displaystyle{ x}\) zmieni się na \(\displaystyle{ 1}\) (pochodna wielomianu/jednomianu). Tylko trzeba pamiętać, że według tej reguły robimy iloraz pochodnych, a nie pochodną ilorazu.

[a4karo]

Wszystko zależy od tego w jaki sposób wprowadzono pojęcie sinusa. Istotnie, do policzenia pochodnej sinusa w klasycznej wersji konieczne jest obliczenie tej granicy i dostajemy węża, który zjada własny ogon. Ale można wprowadzić sinusa jako szereg potęgowy, albo jako rozwiązanie pewnego układu równań funkcyjnych i wtedy jak najbardziej można liczyć tę granicę używając reguły de l'Hospitala

@Niepokonana: w matematyce nic nie trzeba wiedzieć (chyba, że piszesz o aksjomatach). W matematyce wszystko sie dowodzi. A jak już raz się udowodni, to się wie.

[Jan Kraszewski]

Ale musze to zrobić wykorzystując właśnie tą regułe.

Skoro tak Ci kazano, to po prostu to zrób... A wiedza, że w pewnych sytuacjach nie należy tego robić poszerzy Twoje horyzonty.

JK

[hutsalo]

Wszystko zależy od tego w jaki sposób wprowadzono pojęcie sinusa. Istotnie, do policzenia pochodnej sinusa w klasycznej wersji konieczne jest obliczenie tej granicy i dostajemy węża, który zjada własny ogon. Ale można wprowadzić sinusa jako szereg potęgowy, albo jako rozwiązanie pewnego układu równań funkcyjnych i wtedy jak najbardziej można liczyć tę granicę używając reguły de l'Hospitala

@Niepokonana: w matematyce nic nie trzeba wiedzieć (chyba, że piszesz o aksjomatach). W matematyce wszystko sie dowodzi. A jak już raz się udowodni, to się wie.

A możesz wytłumaczyć jak to zrobić?

[a4karo]

Ale co zrobić?

[Niepokonana]

A możesz wytłumaczyć jak to zrobić?

Ale ja już Ci powiedziałam XD

[janusz47]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} }\)

Oznaczmy \(\displaystyle{ f(x) = \sin(x).}\)

Mamy

\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{f(0) +\frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f^{''}(c)}{2!} x^2}{x} = }\)

\(\displaystyle{ = \lim_{x\to 0}\frac{0 +x - \frac{\sin(c)}{2!}x^2}{x} = }\)

\(\displaystyle{ = \lim_{x\to 0} \left(1 - \frac{\sin(c)}{2!}x \right) = 1.}\)

Dodano po 19 minutach 53 sekundach:
Zauważmy dodatkowo, że liczba \(\displaystyle{ c }\) jest odpowiednio dobraną liczbą wewnątrz odcinka o końcach \(\displaystyle{ 0 }\) i \(\displaystyle{ x.}\)

Zatem, gdy \(\displaystyle{ x }\) dąży do zera, to \(\displaystyle{ c }\) też dąży do zera, a stąd \(\displaystyle{ \frac{\sin(c)}{2!}}\) dąży do zera.

[Kordyt]

No ale, aby policzyć pochodną sinusa, to też trzeba wcześniej policzyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}\)

[janusz47]

Rozwijamy funkcję \(\displaystyle{ f(x)= \sin(x) }\) w szereg Taylora-Maclaurina.

[Jan Kraszewski]

No ale, aby policzyć pochodną sinusa, to też trzeba wcześniej policzyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}\)

To już było dyskutowane. Polecenie wyjściowe było

Mam do obliczenia taką granice
\(\displaystyle{
\lim _{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
}\)
Mam to policzyć za pomocą reguły de l’Hospitala.

JK

[Kordyt]

No ale, aby policzyć pochodną sinusa, to też trzeba wcześniej policzyć granicę \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}\)

To już było dyskutowane. Polecenie wyjściowe było

Mam do obliczenia taką granice
\(\displaystyle{
\lim _{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
}\)
Mam to policzyć za pomocą reguły de l’Hospitala.

JK

No tak, dlatego właśnie zwracam uwagę że skoro ma być Hospitalem to ma być Hospitalem, to po co wzór Taylora skoro ani to Hospital, ani poprawne co do kolejności wyprowadzeN.