Granica funkcji

[Matiks21]

Hej,

napotykam czasami granice funkcji z którymi mam problem i są postaci

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} x(f(x)-g)}\), gdzie \(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} f(x) = g}\).

Czy jest jakis ogólny sposób na takie granice?

Na przykład ostatnio spotkałem granicę

\(\displaystyle{ \lim_{x \to \infty} x((1 + \frac{1}{x} )^{x} -e)}\), która rzekomo zbiega do \(\displaystyle{ -\frac{e}{2} }\).

Proszę o pomoc.

[Tmkk]

O ogólny sposób ciężko, ale możesz na przykład wrzucić \(\displaystyle{ x}\) do mianownika i wtedy masz wyrażenie postaci \(\displaystyle{ \frac{f(x)-g}{\frac{1}{x}}}\), czyli symbol nieoznaczony \(\displaystyle{ \frac{0}{0}}\) i możesz próbować z de l'Hospitala. Możesz też postawić sobie na przykład \(\displaystyle{ y = \frac{1}{x}}\), aby liczyć granicę w \(\displaystyle{ 0}\) i wtedy wygodnie rozwijać jakieś rzeczy w szereg Taylora. Zarówno jednym, jak i drugim sposobem, idzie policzyć ten przykład, który napisałeś na dole.