Granice funkcji, sąsiedztwo

[zofia48]

Witam. Chyba nie do końca rozumiem pojęcie sąsiedztwa. W poniższym zadaniu, mam wykazać granicę funkcji za pomocą definicji Cauchy'ego:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to2 } x ^{2} = 4 \\
S(x _{o}) = (1,2) \cup (2,3) }\)
Dlaczego promień ( z definicji sąsiedztwa \(\displaystyle{ S(x _{0},r) = (x _{0}-r, x _{0}) \cup (x _{0}, x _{0}+r) ) }\)
jest równy 1? Czy tak będzie w przypadku każdej funkcji?

[szw1710]

Według definicji Cauchy'ego dla zadanego \(\varepsilon\) masz znaleźć promień sąsiedztwa dwójki tak, aby w tym sąsiedztwie było \(|x^2-4|<\varepsilon.\) Promień ten zależy od \(\varepsilon\). Tak więc promień \(1\) nie jest właściwy.

Mówiłem ostatnio mojemu studentowi na korepetycjach, że w stosunku do zadanej dokładności \(\varepsilon\) trzeba znaleźć odpowiednią bliskość. Punktem odniesienia jest ta dokładność. I inną bliskość sąsiadów masz we własnym bloku (\(10\) m), a zupełnie inną w Australii (\(500\) km).

[zofia48]

Dziękuję