Dziwna granica

[a4karo]

Funkcja \(\displaystyle{ f:\RR_+\to\RR}\) ma tę własność, że dla dowolnego \(\displaystyle{ a\in\RR}\) istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x+a)-f(x)}\).

Wiedząc, że dla `a=1` ta granica jest równa `1` oblicz \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x+2022.0101)-f(x)}\)

[Tmkk]

Skoro granica \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x+a) - f(x)}\) istnieje, to dla każdego \(\displaystyle{ c \in \mathbb{R}}\) granica \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x+a+c) - f(x+c)}\) też istnieje i jest równa tyle samo. I z tego, że takie granice istnieją, możemy sobie rozdzielać granicę sumy na sumę granic i mamy na przykład, że dla \(\displaystyle{ q \in \mathbb{N}}\) jest

\(\displaystyle{ 1 = \lim_{x\to\infty} f(x+1)-f(x) = \lim_{x\to\infty} \left( f\left(x+1\right) - f\left(x+\frac{q-1}{q}\right) + f\left(x+\frac{q-1}{q}\right) - f\left(x+\frac{q-2}{q}\right) + \ldots + f\left(x+\frac{1}{q}\right) - f\left(x\right) \right)\\
\ \ \ = \lim_{x\to\infty} \left( f\left(x+1\right) - f\left(x+\frac{q-1}{q}\right)\right) + \lim_{x\to\infty} \left( f\left(x+\frac{q-1}{q}\right) - f\left(x+\frac{q-2}{q}\right)\right) + \ldots + \lim_{x\to\infty}\left( f\left(x+\frac{1}{q}\right) - f\left(x\right)\right) \\
\ \ \ = q\lim_{x\to\infty}f\left(x+\frac{1}{q}\right) - f\left(x\right), }\)

stąd \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}f\left(x+\frac{1}{q}\right) - f\left(x\right) = \frac{1}{q}}\). Tutaj używam tego faktu, który napisałem na początku, dla przykładu, kiedy wezmę \(\displaystyle{ a = \frac{1}{q}}\) oraz \(\displaystyle{ c = \frac{q-2}{q}}\) to mam właśnie, że granica \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f\left(x+\frac{q-1}{q}\right) - f\left(x+\frac{q-2}{q}\right)}\) istnieje i jest taka sama jak granica \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f\left(x+\frac{1}{q}\right) - f(x)}\).

Zupełnie analogicznie (tym razem rozdzielając na \(\displaystyle{ p}\) składników) sprawdzam, że dla \(\displaystyle{ p \in \mathbb{N}}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f\left(x+\frac{p}{q}\right) - f(x) = p \lim_{x\to\infty} \left( f\left(x+\frac{1}{q}\right) - f(x)\right) = \frac{p}{q}}\).

Więc odpowiedź do zadania byłaby po prostu \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} f(x + 2202.0101) - f(x) = 2202.0101}\).

[a4karo]

Rozumowanie z pierwszej linijki pokazuje, że jeżeli \(\displaystyle{ h(a)= \lim_{x\to\infty} f(x+a) - f(x)}\), to \(\displaystyle{ h(a+b)=h(a)+h(b)}\), a stąd wnioskujemy, że dla \(\displaystyle{ q\in \QQ}\) zachodzi \(\displaystyle{ f(qa)=qf(a)}\)

Oczywiście każda funkcja liniowa `f` spełnia warunek zadania, ale są tez inne (np \(\displaystyle{ f(x)=x\cos (\pi/x)}\)).